【bzoj3195】【 [Jxoi2012]奇怪的道路】另类压缩的状压dp好题

（上不了p站我要死了）

啊啊，其实想清楚了还是挺简单的。

Description

小宇从历史书上了解到一个古老的文明。这个文明在各个方面高度发达，交通方面也不例外。考古学家已经知道，这个文明在全盛时期有n座城市，编号为1..n。m条道路连接在这些城市之间，每条道路将两个城市连接起来，使得两地的居民可以方便地来往。一对城市之间可能存在多条道路。

据史料记载，这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征。首先，这个文明崇拜数字K，所以对于任何一条道路，设它连接的两个城市分别为u和v，则必定满足1 <=|u - v| <= K。此外，任何一个城市都与恰好偶数条道路相连（0也被认为是偶数）。不过，由于时间过于久远，具体的交通网络我们已经无法得知了。小宇很好奇这n个城市之间究竟有多少种可能的连接方法，于是她向你求助。

方法数可能很大，你只需要输出方法数模1000000007后的结果。

Input

输入共一行，为3个整数n，m，K。

Output

输出1个整数，表示方案数模1000000007后的结果。

Sample Input

【输入样例1】

3 4 1

【输入样例2】

4 3 3

Sample Output

【输出样例1】

3

【输出样例2】

4

【数据规模】

HINT

100%的数据满足1<= n <= 30, 0 <= m <= 30, 1 <= K <= 8.

【题目说明】

两种可能的连接方法不同当且仅当存在一对城市，它们间的道路数在两种方法中不同。

在交通网络中，有可能存在两个城市无法互相到达。

题目说要取模，通常会这样的有数论或dp。所以虽然数据范围较小，想到搜索的简直233

有两维很好想到，及处理到第i个点，建了j条路的方案数。但是这道题的条件很苛刻，不仅距离不能超过k，还要求所有的点都有偶数条边连接。如果只有距离限制，其实还好处理。然而奇偶性该如何处理？

平时的状压我们认为是选与不选的状态，但是这里算是要开眼界了。只要是两种对立态，就可以用01表示。所以多增一维，记录i与i前面的k个点的奇偶。

然后怎么转移呢？

首先，如果要让我们来建路，我们会枚举每一个点，然后向前面的点建边。所以对于f[i][j][s]，我们就考虑i向前k个点连边。

当时我并没有想清楚，去搜题解，于是……

“第一眼看到题比较裸的状压dp就是f[i][j][s]表示考虑到第i个点，连了j条边，i和i左边k个点奇偶性状态为s的方案数，然后枚举i和谁连边向j+1转移，每个s再向i+1转移。

　　写完后发现这个做法有bug，因为同一个状态因为i向外连边的顺序不同而被重复记数了。比如：



第一个状态就在第四个状态中被重复记了两次，所以我们在加一位状态l，表示i正准备和i-l连边，这样i的边就是从左往右连的，就不会重复记数了。”——SD_le

于是我想都没想，就多加了一维l

于是状态转移就变成了(->表示做贡献，这是顺推的方式）

f[i][j][s][l]->f[i][j][s][l+1]

和

f[i][j][s][l]->f[i][j+1][s^(1 << l )^1][l]

这是该解法的完整代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int mod=1000000007;

int N,M,K;
int f[35][35][1<<10][10];

int main(){
    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
    f[1][0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=0;j<=M;j++){
            for(int k=0;k<(1<<(K+1));k++){
                for(int l=min(K,i-1);l>=1;l--){
                    int tmp=f[i][j][k][l];
                    f[i][j][k][l-1]+=tmp%=mod;
                    f[i][j+1][k^(1<<l)^1][l]+=tmp%=mod;
                }
                if(((k>>K)&1)==0) f[i+1][j][(k<<1)&((1<<(N+1))-1)][min(K,i)]+=f[i][j][k][0]%=mod;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[N][M][0][0]);
    return 0;
}

然后手贱看了一下rank，发现doggu神名列前茅（前三名打表）。于是前去请教

我们发现，其实第4维l是无用的。为什么会出现上文说到的bug呢？因为我们把建边的顺序更改了一下，造成了重复计算，如果我们直接强制规定建边顺序，就可以减少一维。

被doggu神改的一塌糊涂的三维做法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MOD=1000000007;

int N,M,K;
int f[2][35][1<<9], cur, pow[9], lim, lm;
inline void add(int &a,int b) {a=a-MOD+b>0?a-MOD+b:a+b;}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);lm=1<<K;lim=1<<(K+1);
    f[cur][0][0]=1;
    pow[0]=1;
    for( int i = 1; i <= K; i++ ) pow[i]=pow[i-1]<<1;
    for(int i=1,l,j,k,st,sta;i<=N;i++){
        cur^=1;memset(f[cur],0,sizeof(f[cur]));
        for( j = 0; j <= M; j++ )
            for( st = 0, sta = 0; st < lm; st++, sta+=2 )
                f[cur][j][sta]=f[cur^1][j][st];
        for(l=min(K,i-1);l>=1;l--)
            for(j=0;j<=M;j++)
                for(k=0;k<lim;k++)
                    add(f[cur][j+1][k^pow[l]^1],f[cur][j][k]);
    }
    printf("%d\n",f[cur][M][0]);
    return 0;
}