欧拉函数&欧拉定理&降幂总结

标签：数学方法——数论

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这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。

欧拉函数

介绍

欧拉函数写做$\varphi[x]$，表示$0$到$x$中与$x$互质的数的个数

那么我们会有引理（对于素数$p$）：

\[\left\{
\begin{aligned}
\varphi[p]=p-1\ --------------①\\
\varphi[i*p]=p*\varphi[i]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i\bmod p==0)---②\\
\varphi[i*p]=(p-1)*\varphi[i]\ \ \ \ \ (i\bmod p\ne0)---③
\end{aligned}
\right.\]

据说还有一个总的公式：$\varphi[n]=n*\prod(1-\dfrac{1}{a_i})$ ($a_i$是$n$的质因子)

怎么求

线性筛所有欧拉函数

我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来（根据上面的引理）

不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。笑哭.$jpg$

（去掉和$phi$数组有关的就是线性筛素数了）

背板子吧，其实也容易理解

void Prepare_Phi()

{

	phi[1]=1;

	for(int i=2;i<=M;++i)

	{

		if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①

		for(int j=1;j<=tot;++j)

		{

			if(i*pri[j]>M)break;

			if(!(i%pri[j]))

			{

				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②

				break;

			}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③

		}

	}

}

根号求单个欧拉函数

il lst euler(rg lst x)

{

    rg lst ans=x,tp=sqrt(x);

    for(lst i=2;i<=tp;++i)

        if(x%i==0)

        {

            ans=ans-ans/i;

            while(x%i==0)x/=i;

        }

    if(x>1)ans=ans-ans/x;

    return ans;

}

欧拉定理

有了欧拉函数做坚实的后盾

讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了

一个公式：当$a,n$互质时$$

a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod\ n)

\[不知道怎么用对吧，那这样：
如果$a,n$互质，那么有 $\ a^{\varphi(n)}\%n==1$
也就是 $ a^{\varphi(n)}$ 与 $n$ 互质

**最有用的**？ $a^b\equiv a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)$

PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作**降幂**，后面讲
## 扩展欧拉定理
嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面$a,n$不互质了
$$a^b\equiv \left\{
\begin{aligned}
a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\
a^{b\%\varphi(n)+varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ b\geq\varphi(n)
\end{aligned}
\right.\]

降幂(应用草鸡广的)

根据上面两个定理的公式结合起来

\[a^b\equiv \left\{
\begin{aligned}
a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\\
a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\
a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n)
\end{aligned}
\right.$$~~其实我们完全可以不用用到第一个~~
思考一下
是不是对于一个问题求$a^b (\bmod\ n)$
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
$yep$降幂成功
给个例题吧：[洛谷P4139 上帝与集合的正确用法](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4139)
代码你要吗？~~不要我也给你，虽然丑~~
```
#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
}

int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
lst ret=1;
while(y)
{
if(y&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
if(mod==1)return 0;
return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}

int main()
{
Prepare_Phi();
Q=read();
while(Q--)
{
int p=read();
printf("%lld\n",Solve(p));
}
return 0;
}

```

那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。
~~毕竟我是个菜鸡嘛~~\]