ZROI 19.07.28 序列数据结构/jk
写在前面
dls:“我不会数据结构,但是APIO的数据结构场我写了,还是蛮简单的。”
T1 CF643G
Sol:
有一个\(O(n\log^2n)\)的做法:假设将区间排好序,取六等分点,则答案一定覆盖了若干点,求区间第\(k\)大即可。
然而会TLE
定义绝对众数为区间中出现超过一半的数。
有一个经典的做法求绝对众数,然而它要在保证有解的时候才保证正确性。
维护当前答案和出现次数,遇到相同则\(+1\),不同则\(-1\),降为\(-1\)的时候就把当前解替换。
显然如果有解的话,答案不会被替换掉(或者最后会换回来)。
可以扩展到\(p\not= \frac{1}{2}\)的情况,维护多个答案,调整加减权重即可。
可以用线段树维护上述操作。
顺便一提dls讲题的时候翻车了23333(被打死
线段树合并两个儿子的时候,先执行替换,再全部\(-1\)。正确性dls也不会不屑于证。
T2 HDU6087
Sol:
不会可持久化平衡树,告辞。
T4 CF453E
Sol:
序列可以分成若干段,每段都是同一时间清空的。
显然段的总数\(O(n)\)。
以按恢复满需要的时间为权建主席树,因为同一段恢复的时间是相同的,一次查询一整段,可以\(O(n\log n)\)做。
T5 CF1172F
Sol:
发现每个位置都是一个分段函数。
考虑用线段树维护区间内函数复合后的结果,可以证明长度为\(l\)的序列,对应的分段函数最多\(l+1\)段。
(证明:显然\(f(x)-x\)始终模\(p\)同余,且对于更大的\(x\),“减去的\(p\)”的个数必然不会更少。由于\([l,r]\)最多减去\(r-l+1\)个\(p\),故最多\(r-l+2\)段)
复合两个函数的时候可以双指针法,每次遇到左边的断点就在右边暴力回退,可以证明回退次数最多一次。
(这里本来应该有一个证明,可是它咕了)(貌似和上面证明有关?)
T6 CF1178G
Sol:
dls:“这题透露着一股垃圾题的气息。果然,\(n^2\)能过。”
标程是分块+凸包,lxl可能会喜欢
绝对值因为每个数只会变\(O(1)\)次,暴力做就好了。
对\((a_i, a_ib_i)\)建凸包,由于\(t_i\)单调,每次最大值只会右移。
复杂度\(O(n\sqrt n)\),据说带\(\log\)会被卡。
有一个非常有趣的邪道解法:
线段树维护凸包,每个节点计算一个\(wait\),表示再增加多少之后,这个节点的某个子树中,左右儿子大小关系就会改变。
每次修改只要不超过\(wait\)就可以打标记。
复杂度不会证明,但是跑的飞快。
T7
题意:维护一个序列,支持:
① 区间每个位置变成下标\(xor X\)的位置的值
② 区间每个下标\(xor X\)的位置变成这个位置的值
③ 区间xor
④ 区间下标二进制有奇数个1的位置的权值和
Sol:
可持久化trie维护一下,每次①②操作是一个子树复制,可能需要打标记啥的,dls懒得搞了(
T8 CF297E
Sol:
共有五种可能的情况,其中有一种很好算。
把线段看成点,两两之间如果相交连红边,否则连蓝边。
转化为统计同色三角形个数。
同色三角形\(=C(n,3)-\)异色三角形。
发现每个异色三角形恰好有两个异色角。
对每个点统计两种颜色的边个数即可。
T9 CF997E
Sol:
扫描线,对每个左端点维护到当前右端点的点数-边数\((x,x+1)\),记作\(cnt\)。
假设新加入了\(x\),将新加边的区间\(cnt\)修改。
线段树可以支持一种标记:对区间\(cnt\)最小值,\(ans+k\)。
然后就做完了。
T10 CF1034D
Sol:
\(k\)这么大,显然不能拿堆做。
可以二分答案。
判断的时候可以双指针。
每次加入\(r\)的时候把\(r\)对应的区间全部覆盖,判断的时候只需要知道\(>l\)的和。
可以用set维护,但是发现每次二分的时候,操作序列都是不变的。
因此预处理出每次操作之后的序列即可,复杂度\(O(n\log n + n\log T)\)。
T11 CF896E
Sol:
分块,用链表记录每块中为\(x\)的数。
在值域中启发式合并。
这样可以在\(O(x)\)内把某块的值域缩小\(x\)。
T12
题意:一个长为\(n\)的序列,支持对\([1,m],[m,r]\)归并排序(然而原序列无序,所以排序完也不一定有序),询问\(a_i\)
Sol:
发现可以划分成若干个段,每次按照段头归并。
可能会拆分若干段,但是每次最多合并一段。
平衡树维护即可。
T13 CF1148H
Sol:
不会。
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