是真懂还是假懂?

Floyed算法:是最短路径算法可以说是最慢的一个。

原理:O(n^3)的for循环,对每一个中间节点k做松弛(寻找更短路径);
但它适合算多源最短路径,即任意两点间的距离。
但spfa,迪杰斯特拉就只能算一个点到其他任一点的最短路径。
 
关键在于,我们真的真正理解floyed吗?
 
就是因为它太短了,以至于我们有些人(神仙除外)看代码后看到这样一个语句:
 
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])
 
也就是说,对于每一个中转点k来说,进行O(n^2)的松弛,一定能找到最短路径。
 
虽不是最优,但是松弛次数来凑!
 
这大概就是我们(之前的我)的无须证明的,想当然的理解,并背下来了它,以便以后想TLE时用。(???O(n^3));
so?
Floyed本质是dp;
 
递推公式:(图片源自网络大佬)

众所周知,dp(动态规划)要满足无后效性。也就是说。。。。。。

还是先举个例子:

我们设k取某一个k1时满足k1为最终点i到j最短路经过的点,但是在外层循环到k1时d[i][k1]和d[k1][j]并没有取到最小值,因为k1只能取一次,那么往后再循环是不是就取不到k1了呢??

答案当然不是的(不然这个算法为什么正确?)

还是那句话,dp无后效性,

也就是说,k不单单是枚举,还是一个状态变量,找i和j之间通过编号不超过k(k从1到n)的节点的最短路径(一定要注意,这里是当前最短路径,

k之前的已经变成最短路了,对于每一个k,我们都进行了n^2的充分枚举(ij),已保证当前已经满足对从1到k的节点最优,

那么当k枚举完所有点,那么一定是最优的了

换句话说,在d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])

公式中,因为k之前已经作为i或者j被枚举过了;,d[i][k]和d[k][j] 已经被1到k枚举过了

那么他们一定是1到k节点中最优的路径,等枚举到n时,所有的都枚举完了,那么它们就是
 
基本代码:
 
for(k=;k<=n;k++) //中转节点
for(i=;i<=n;i++) 第二层循环
for(j=;j<=n;j++) 第三层循环
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )如果直接到达比通过k这个中转接点到达的距离短
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];那么就更新松弛

算法复杂度O(n^3),这也是为什么平常很少使用的原因。

例题校内题目:

城市交通费
【问题描述】
有 n 个城市,编号 1~n。其中 i 号城市的繁华度为 pi。省内有 m 条可以双向同行的高速
公路,编号 1~m。编号为 j 的高速公路连接编号为 aj 和 bj 两个城市,经过高速公路的费用
是 wj。若从城市 x 出发到某城市 y,除了需要缴纳高速公路费用,还要缴纳“城市建设费”
(为从 x 城市到 y 城市所经过的所有城市中繁华度的最大值,包括 x 和 y 在内)。
现提出 q 个询问,每个询问给出一组 x 和 y,你需要回答从 x 出发到 y 城市,所需要的
最低交通费(高速公路费+城市建设费)是多少。
【输入】
第一行三个整数 n,m,q。
第二行 n 个整数,表示 p1~pn。
接下来 m 行中,每行 3 个正整数,第 j 行包含 Aj,Bj,Wj。
随后 Q 行每组两个正整数 x,y 表示一组询问。
【输出】
共 Q 行,为对 Q 个问题的回答:x 城市到 y 城市的最小交通费用。
【样例输入】
5 7 2
2 5 3 3 4
1 2 3
1 3 2
2 5 3
5 3 1
5 4 1
2 4 3
3 4 4
1 4
2 3
【样例输出】
8
9
【数据范围及约定】
n≤250,m≤20000,Q≤10000,Pi≤10000,Wj≤2000,保证任意两个城市可以互相到达。
【样例说明】
图中,代表城市的格子中第一个数字是城市编号,第二个红色数字是该城市的繁华度。
(1)从城市 1 到城市 4 的最小交通费用路线是:1 3 5 4;公路费是 2+1+1=4;城市建设费是
max{2,3,4,3}=4;总交通费用 4+4=8。
(2)从城市 2 到城市 3 的最小交通费用路线是:2 5 3;公路费是 3+1=4;城市建设费是
max{5,4,3}=5;总交通费用 4+5=9。

这个题看起来就是一个最短路问题。
 
问题是Q(询问次数)的范围到了一万,一万次询问,不管是spfa还是堆优化迪杰斯特拉,都得爆炸。
 
那么,我们平时鸟都不鸟的Floyed就排上了用场;
 

但题目中给的点数为250,三次方为15625000,不会爆TLE,

可以使用,对于一万次询问,O(1)询问就可以过了。

但是,这个题目有一个附加条件:繁华度。

怎样在floyed算法中加入繁华度来考虑呢?

代码:(注意floyed部分)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,q,p[],aj,bj,wj,x,y,f[][],a[][],top,t[];
int cmp(int x,int y)
{
return p[x]<p[y];
}
int main()
{
memset(a,,sizeof(a));
top=;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=;i<=n;i++)//正常输入
scanf("%d",&p[i]);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&aj,&bj,&wj);
a[aj][bj]=min(a[aj][bj],wj);//初始化
a[bj][aj]=min(a[bj][aj],wj);//这是邻接矩阵类型的,没用链式前向星
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
a[i][i]=;//对角线置为0
t[i]=i;//编号
}
sort(t+,t++n,cmp);//t数组开始时是编号,但经过sort排序后就变成了城市繁华度从小到大的顺序
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
f[i][j]=a[i][j]+max(p[i],p[j]);//f数组即为答案数组,这里初始化
for(int k=;k<=n;k++)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
{
a[i][j]=min(a[i][j],a[i][t[k]]+a[t[k]][j]);//a数组就是最短路数组
f[i][j]=min(f[i][j],a[i][j]+max(p[i],max(p[j],p[t[k]])));
f数组就是答案数组,a数组不受f数组影响,有可能a更新了,但是f将最大繁华值考虑进去后并没有更新,那么a数组保留最短路为以后的更新做铺垫
}
for(int i=;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",f[x][y]);
}
return ;
}

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