Floyed(floyd)算法详解
是真懂还是假懂?
Floyed算法:是最短路径算法可以说是最慢的一个。

众所周知,dp(动态规划)要满足无后效性。也就是说。。。。。。
还是先举个例子:
我们设k取某一个k1时满足k1为最终点i到j最短路经过的点,但是在外层循环到k1时d[i][k1]和d[k1][j]并没有取到最小值,因为k1只能取一次,那么往后再循环是不是就取不到k1了呢??
答案当然不是的(不然这个算法为什么正确?)
还是那句话,dp无后效性,
也就是说,k不单单是枚举,还是一个状态变量,找i和j之间通过编号不超过k(k从1到n)的节点的最短路径(一定要注意,这里是当前最短路径,
k之前的已经变成最短路了,对于每一个k,我们都进行了n^2的充分枚举(ij),已保证当前已经满足对从1到k的节点最优,
那么当k枚举完所有点,那么一定是最优的了
换句话说,在d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])
公式中,因为k之前已经作为i或者j被枚举过了;,d[i][k]和d[k][j] 已经被1到k枚举过了
for(k=;k<=n;k++) //中转节点
for(i=;i<=n;i++) 第二层循环
for(j=;j<=n;j++) 第三层循环
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )如果直接到达比通过k这个中转接点到达的距离短
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];那么就更新松弛
算法复杂度O(n^3),这也是为什么平常很少使用的原因。
例题校内题目:
但题目中给的点数为250,三次方为15625000,不会爆TLE,
可以使用,对于一万次询问,O(1)询问就可以过了。
但是,这个题目有一个附加条件:繁华度。
怎样在floyed算法中加入繁华度来考虑呢?
代码:(注意floyed部分)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,q,p[],aj,bj,wj,x,y,f[][],a[][],top,t[];
int cmp(int x,int y)
{
return p[x]<p[y];
}
int main()
{
memset(a,,sizeof(a));
top=;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=;i<=n;i++)//正常输入
scanf("%d",&p[i]);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&aj,&bj,&wj);
a[aj][bj]=min(a[aj][bj],wj);//初始化
a[bj][aj]=min(a[bj][aj],wj);//这是邻接矩阵类型的,没用链式前向星
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
a[i][i]=;//对角线置为0
t[i]=i;//编号
}
sort(t+,t++n,cmp);//t数组开始时是编号,但经过sort排序后就变成了城市繁华度从小到大的顺序
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
f[i][j]=a[i][j]+max(p[i],p[j]);//f数组即为答案数组,这里初始化
for(int k=;k<=n;k++)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=n;j++)
{
a[i][j]=min(a[i][j],a[i][t[k]]+a[t[k]][j]);//a数组就是最短路数组
f[i][j]=min(f[i][j],a[i][j]+max(p[i],max(p[j],p[t[k]])));
f数组就是答案数组,a数组不受f数组影响,有可能a更新了,但是f将最大繁华值考虑进去后并没有更新,那么a数组保留最短路为以后的更新做铺垫
}
for(int i=;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",f[x][y]);
}
return ;
}
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