codeforces 798C.Mike and gcd problem 解题报告

题目意思：给出一个n个数的序列：a1,a2,...,an （n的范围[2,100000]，ax的范围[1,1e9] ）

现在需要对序列a进行若干变换，来构造一个beautiful的序列： b1,b2, ..., bn，使得最大公约数 gcd(b1,b2,...,bn) > 1。

变换：  任意ai，ai+1 进行一次操作时，可以用 ai-ai+1, ai+ai+1 来替换。

问序列 a 构造成 序列 b ，使得gcd（b序列） > 1 的最小操作次数

题目解析：

　　首先，这个题目是肯定有解的，也就是恒输出yes

试想一下，相邻两个数之间无非就是四种情况：

（1）对于同偶情况，不需要做转换，公约数直接为2；

（2）对于同奇情况，只需要变换一次，两奇数进行加减操作，最终结果是偶数，公约数此时为2

　　（3）一奇一偶，变换两次： ai, ai+1 ——》 ai-ai+1, ai+ai+1  ——》2（ai+1，ai） ——》 公约数为2

　　此时问题就转化成： 构造一个序列所有数的公约数为2的最少操作次数。

当然，在处理序列之前，要先判断整个序列是否已经有公约数了（注意，并不一定为2）； 如果有，代表已经符合条件：gcd(b1,b2,...,bn) > 1，直接输出0即可。（不需要对序列a进行任何操作。

两种方法

方法一 ：贪心+数论

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 using namespace std;

 const int maxn = 1e5 + ;
 int a[maxn];

 int GCD(int b1, int b2)
 {
     if (b2 == )
         return b1;
     return GCD(b2, b1%b2);
 }

 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("in.txt", "r", stdin);
     #endif // ONLINE_JUDGE

     int n;
     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {
        scanf("%d", &a[]);
        int t=a[], cnt = ;
        for (int i = ; i < n; i++) {
         scanf("%d", &a[i]);
         t = GCD(t, a[i]);
         if (t > ) { cnt++; }
        }
        printf("YES\n");
        if ( cnt == n- ) { printf("0\n"); }  // all is even
        else {
             // scan two times;
             int ans = ;
             for (int i = ; i < n; i++) {
                 if (a[i]% && a[i+]% && i+ < n) {  // two odd
                     ans += ;
                     a[i] = ;
                     a[i+] = ;
                 }
             }

             for (int i = ; i < n; i++) {
                 if (i+ < n && (a[i]% && a[i+]% == )|| (a[i]% ==  && a[i+]%) ) {   // one odd one even
                     ans += ;
                     a[i+] = ;
                 }
             }
             printf("%d\n", ans);
        }
     }
     return ;
 }

方法二：动态规划（参考网上的，dp是我的痛~  = =）

设：

dp[i][0]： 前i-1个数为偶数，第i个数为偶数的最少操作次数
dp[i][1]:  前i-1个数为偶数，第i个数为奇数的最少操作次数

如果第 i 个数是奇数，
dp[i][0] = min(dp[i-1][0]+2, dp[i-1][1]+1);

dp[i][1] = min(dp[i-1][0], inf);

如果第 i 个数是偶数，

dp[i][0] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+2);
dp[i][1] = inf;

还有一个初始化的问题需要注意下：

dp[0][!(a[0]%2)] = inf;      ——》 这个要细心体会下
假设序列中第一个数就是偶数，dp[0][0]= 0     dp[0][1]= inf

假设序列中第一个数就是奇数，dp[0][0]= inf   dp[0][1]= 0

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 using namespace std;

 const int inf = ;
 const int maxn = 1e5 + ;
 int a[maxn];
 // dp[i][0]： 前i-1个数为偶数，第i个数为偶数的最少操作次数
 // dp[i][1]:  前i-1个数为偶数，第i个数为奇数的最少操作次数
 int dp[maxn][];

 int GCD(int b1, int b2)
 {
     if (b2 == )
         return b1;
     return GCD(b2, b1%b2);
 }

 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("in.txt", "r", stdin);
     #endif // ONLINE_JUDGE

     int n;
     while (scanf("%d", &n) !=EOF) {
        scanf("%d", &a[]);
        int t=a[], cnt = ;

        for (int i = ; i < n; i++) {
             scanf("%d", &a[i]);
             t = GCD(t, a[i]);
             if (t > ) { cnt++; }
        }
        printf("YES\n");
        if ( cnt == n- ) { printf("0\n"); }  // all 有公约数

        else {
             memset(dp, , sizeof(dp));
             dp[][!(a[]%)] = inf;

             for (int i = ; i < n; i++) {
                 if (a[i]%) {     // odd
                     dp[i][] = min(dp[i-][]+, dp[i-][]+);
                     dp[i][] = min(dp[i-][], inf);
                 }
                 else {
                     dp[i][] = min(dp[i-][], dp[i-][]+);
                     dp[i][] = inf;

                 }
             }
             printf("%d\n", dp[n-][]);
        }
     }
     return ;
 }