【bzoj2219-数论之神】求解x^a==b(%n)-crt推论-原根-指标-BSGS

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2219

弄了一个晚上加一个午休再加下午一个钟。。终于ac。。TAT

数论渣渣求轻虐！！

题意：求解 x^A=B(mod n) 在0~n内解的个数。其中1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8  （n=2*K+1）

首先先说这一题的弱化版：bzoj1319 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1319

bzoj1319这题是保证了P为质数。

找到p的一个原根g,因为g^x构成一个缩系,g^x可以表示0~p-1所有数。
g^j=a(%p), g(%p)=1, (g^i)^k=1(%p)
g^ik=g^j (%p)
ik=j(%phi(p))
用BSGS求出j，exgcd求出所有i，x就是g^i。

分析这一题：P不一定是质数。

取模数不是质数，无法利用通常的方式解方程；

但是有中国剩余定理这个东西，定理的推论告诉我们：

一个取模数互质的同余方程组(未必线性)，组合起来之后，这个同余方程解的个数为各方程解的个数的乘积；

(组合起来的方程的取模数为所有数的积；实际上这里解的范围都是属于[0 ,自己取模数) )

这点十分重要呢，它不仅证明了解的求法，而且如果有任意一个方程无解，那么整个就都是无解的；

————引用自http://blog.csdn.net/ww140142/article/details/47814003

把n分解质因数。

接下来我们只需要处理方程x^A==B（%p^a）

再次引用题解。。只有第三种情况是我自己搞的。。

引用自大牛http://blog.csdn.net/regina8023/article/details/44863519

但是第三种情况我没看懂它怎么搞。。

这个时候就可以用bzoj1319的解法了！

找到p^a的一个原根g,因为g^x构成一个缩系,g^x可以表示0~p^a-1所有数。

有一个推论（我也不知道为什么）g是p的原根，则g是p^a的原根。就可以很快找出来啦。

解释一下情况1和情况2为什么范围扩大之后就直接乘：

例如情况1：t=(a-1)/A+1，[0,p^t]中有一个解，范围[0,p^a)中有p^(a-t)个这样的范围。

假设p^t就是解。那下一个小区间中的p^(2t)也是解，以此类推。

PS：找原根的方法：

 预判n有没有原根，有原根的数为：、、、P^a,*P^a,P为任意奇素数

 快速求所有原根：
 m=phi(n)
 找到m所有的质因子y
 找出n最小的原根a：gcd(a,n)== &&　a^(m/y) %n都!=
 则a^x%n(<=x<m,gcd(x,m)==) 是n所有原根。

依照上题，化成

g^ik=g^j (%p^a)
ik=j(%phi(p^a))
用BSGS求出j，解i的个数就是答案。

这里又有一个可爱的推论。。我还是不知道为什么。。

ax-py=gcd(a,p)

解的个数为gcd(a,p)。

然后这题就做完了。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const LL N=,Inf=(LL)1e12;
 struct node{LL d,id;}num[N];
 LL nl,fl,pxl,px[N],r[N],f[N];

 void find_px(LL n)
 {
     pxl=;
     for(LL i=;i*i<=n;i++)
     {
         if(n%i==) px[++pxl]=i,r[pxl]=;
         while(n> && n%i==) n/=i,r[pxl]++;
         if(n==) break;
     }
     if(n>) px[++pxl]=n,r[pxl]=;//debug
 }

 LL gcd(LL a,LL b)
 {
     if(b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 LL quickpow(LL x,LL y,LL n)
 {
     LL ans=%n;
     while(y)
     {
         if(y&) ans=(ans*x)%n;
         x=(x*x)%n;y>>=;
     }
     return ans;
 }

 bool cmp(node x,node y){
     if(x.d!=y.d) return x.d<y.d;
     return x.id<y.id;
 }

 LL find_j(LL t)
 {
     LL l=,r=nl,mid;
     while(l<=r)
     {
         mid=(l+r)>>;
         if(num[mid].d==t) return num[mid].id;
         if(num[mid].d<t) l=mid+;
         if(num[mid].d>t) r=mid-;
     }
     return -;
 }

 LL BSGS(LL a,LL b,LL n,LL phi)//a^x==b(%n)
 {
     LL m,x,am,now,t;
     m=(LL)ceil(sqrt((double)n));
     x=%n;
     nl=;num[++nl].d=,num[nl].id=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         x=(x*a)%n;
         num[++nl].d=x;num[nl].id=i;
     }
     am=x;
     sort(num+,num++nl,cmp);
     now=;
     for(int i=;i<=nl;i++)
     {
         if(num[i].d!=num[i-].d) num[++now]=num[i];
     }
     nl=now;
     am=quickpow(am,phi-,n);
     t=b%n;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         x=find_j(t);
         if(x!=-) return i*m+x;
         t=(t*am)%n;
     }
     return -;
 }

 LL find_root(LL p)
 {
     LL x=p-;
     fl=;
     for(int i=;i*i<=p-;i++)
     {
         if((p-)%i==) f[++fl]=i,f[++fl]=(p-)/i;//debug不是找质因子啊。。
     }
     for(int i=;i<p-;i++)
     {
         bool bk=;
         for(int j=;j<=fl;j++)
             if(quickpow(i,(p-)/f[j],p)==) {bk=;break;}
         if(bk) return i;
     }
 }

 LL solve_3(LL A,LL B,LL p,LL a)
 {
     LL phi,g,gc,j,pa;
     pa=quickpow(p,a,Inf);
     phi=(p-)*quickpow(p,a-,Inf);
     g=find_root(p);
     j=BSGS(g,B,pa,phi);
     gc=gcd(A,phi);
     // printf("phi = %lld  j = %lld g = %lld pa = %lld\n",phi,j,g,pa);
     // printf("s3 %lld %lld %lld %lld = %lld\n\n",A,B,p,a,gc);
     if(j%gc) return ;
     return gc;
 }

 LL solve(LL A,LL B,LL p,LL a)
 {
     LL g,pa,x,y,b,cnt;
     pa=quickpow(p,a,Inf);
     g=gcd(pa,B);
     //case 1
     if(B%pa==) return quickpow(p,a-(((a-)/A)+),Inf);
     //case 2
     if(g>)
     {
         b=B/g;
         cnt=;x=g;
         while(x%p==) x/=p,cnt++;
         if(cnt%A) return ;
         return solve_3(A,b,p,a-cnt)*quickpow(p,cnt-(cnt/A),Inf);
     }
     //case 3
     return solve_3(A,B,p,a);
 }

 int main()
 {
     freopen("a.in","r",stdin);
     // freopen("me.out","w",stdout);
     int T;
     scanf("%d",&T);
     LL A,B,n,ans;
     while(T--)
     {
         scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&n);
         n=*n+;
         find_px(n);
         ans=;
         for(LL i=;i<=pxl;i++)
         {
             ans*=solve(A,B,px[i],r[i]);
             if(ans==) break;
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }