DFT到FFT的理解

DFT简化计算理解（FFT）

 

DFT：

WN=e^(-j*2*pi/N)

DFT复杂度o(N^2)

降低与N^2的依赖 使N = LM  （L^2+m^2 <= N^2）

N点DFT分解为M段L点DFT

一维的N点序列变为（L，M）二维序列，每一行分别进行DFT

举例两种一维到二维的映射关系

n = Ml+m

1	3	5	7	9
2	4	6	8	10

n = l+mL

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10

与之所求的DFT 也可存入相对应的（q，p）矩阵中

以第一种（n = Ml+m）为例：k = Mp+q

找书麻烦这里给出推到：

重一维到二维

两种流程：

按列存入信号

计算每行M点DFT

乘以相位因子

计算每一列的L点DFT

按行读取所得数组

图示：

来看下基2_FFT算法：

上图的N/2点的dft可以分解为N/4的而N/4的DFT可以分解为N/8的……直到最后分解为2点的DFT

这儿的2点DFT其实是输出A+B,A-B两个值

为什么可以这样分解呢？其实他就是1个数学式子的’分解‘过程，来看下

N点的DFT是这玩意儿

将序列 奇偶分开

拆开成2km与1两项

X(2m) 可看为f（m）

而这个可看作一个新的N/2点DFT ------------可见N点的DFT已经分解为N/2点DFT

由采样定理，在频域上(N/2以为新的周期)F(k+N/2)=F(k)，且, 。

所以得出下式：

复数乘法运算量 。而原始DFtT的量为N^2,当N够大时几乎减小了一半

注意 的确定，他是 分解出来的

这是举例看下8点DFT的奇偶分解

一级dft（抽第二级奇偶）	二级dft（抽第三极的奇偶）	第三极dft（最终）
0	0	0
4	2	1
2	4	2
6	6	3
1	1	4
5	3	5
3	5	6
7	7	7

可用二进制倒序实现 即011100变为001110，感觉镜像啦下

对比下

可看作一个4点DFT,只需求k=0,1的DFT,即可根据关系得出k=2,3

第二级 等于W(4,0),W(1,4)