LeetCode 29——两数相除

1. 题目

2. 解答

2.1. 方法一

题目要求不能使用乘法、除法和除余运算，但我们可以将除法转移到对数域。

\[\frac{a}{b} = e^{\frac{lna}{lnb}} = e^{lna - lnb}
\]

这样就转化为指数、对数和减法运算了。因为只能对正整数取对数，因此我们首先要将两个数都取绝对值，最后再加上符号。

同时，题目要求只能存储 32 位有符号整数，因此，当数据大于上边界时，需要进行特殊处理。

class Solution {
public:

    int divide(int dividend, int divisor) {
        if(dividend == 0)  return 0;

        double a = fabs(dividend);
        double b = fabs(divisor);

        long result = exp(log(a) - log(b));

        if ((dividend < 0) ^ (divisor < 0)) result = -result;

        if (result > INT_MAX) result = INT_MAX;

        return result;
    }
};

2.2. 方法二

利用移位操作。看下面的例子：

\[10 \implies 2^1 * 3 + 2^0 * 3 \to \frac{10} {3} = 2^1 + 2^0 = 3
\]

\[10 \implies 2^2 * 2 + 2^0 * 2 \to \frac{10} {2} = 2^2 + 2^0 = 5
\]

\[10 \implies 2^3 * 1 + 2^1 * 1 \to \frac{10} {3} = 2^3 + 2^1 = 10
\]

我们可以对被除数进行分解。以 10 和 3 为例，首先我们确定 3 的最高次系数，\(10 > 3*2^1\) && \(10 < 3*2^2\)，因此最高次系数为 2。然后我们用 10 减去 \(3*2^1\)，继续进行刚才的过程，\(4 > 3*2^0\) && \(4 < 3*2^1\)，2 的第二高次系数为 1。我们循环进行这个过程，直到最后的数小于除数为止，这些除数前面所有系数的和即为所求。

class Solution {
public:

    int divide(int dividend, int divisor) {

        long a = labs(dividend); // long 型数据占 8 个字节，labs() 函数对 long 求绝对值
        long b = labs(divisor);
        long temp = b;

        long result = 0;
        long cnt = 1;

        while (a >= b)
        {
            cnt = 1;
            temp = b;
            while (a >= (temp << 1))
            {
                temp  = temp << 1;
                cnt = cnt << 1; // 表征除数前面的各次系数
            }

            a -= temp;
            result += cnt;
        }

        if ((dividend < 0) ^ (divisor < 0)) result = -result;

        if (result > INT_MAX) result = INT_MAX; // INT_MAX = 2^32 - 1

        return result;
    }
};

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