【bzoj1019】[SHOI2008]汉诺塔

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

【题解】

这道题没有看题解，纯自己想出来的，写完之后，感觉智商提高了不少。

首先关于汉诺塔问题，如果策略不变，那么一定满足一个线性递推关系：f[i]=f[i-1]*a+b（证明自己yy）

那么我们就可以先模拟出f[1],f[2],f[3]的值，求出a=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]) , b=f[2]-a*f[1]

然后线性递推即可，别忘了用long long

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 #include<algorithm>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define INF 99999999
 char ch[][];
 int n,stack[][],top[];
 long long f[];
 inline int read()
 {
     int x=,f=;  char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-;  ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))  {x=x*+ch-'';  ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 bool check(){return (!top[]&&!top[])||(!top[]&&!top[]);}
 void work(int x)
 {
     memset(stack,,sizeof(stack));
     memset(top,,sizeof(top));
     for(int i=x;i;i--)  stack[][++top[]]=i;
     int last=;
     stack[][]=stack[][]=stack[][]=INF;
     while(!check())
     {
         for(int i=;i<;i++)
         {
             int xx=ch[i][]-'A'+,yy=ch[i][]-'A'+;
             if(stack[xx][top[xx]]<stack[yy][top[yy]]&&stack[xx][top[xx]]!=last)
             {
                 stack[yy][++top[yy]]=stack[xx][top[xx]];
                 last=stack[xx][top[xx]];  top[xx]--;
                 break;
             }
         }
         f[x]++;
     }
 }
 int main()
 {
     //freopen("cin.in","r",stdin);
     //freopen("cout.out","w",stdout);
     n=read();
     for(int i=;i<;i++)  scanf("%c%c ",&ch[i][],&ch[i][]);
     f[]=;
     work();
     work();
     int a=(f[]-f[])/(f[]-f[]),b=f[]-a*f[];
     for(int i=;i<=n;i++)  f[i]=f[i-]*a+b;
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }