课程内容笔记,自用,不涉及任何 assignment,exam 答案

Notes for self-use, do not include any assignments or exams

这一节主要介绍了电场理论及其应用 (Electric Field Theory and Applications)

涉及到了一部分高中知识,有点亲切

Basic Properties of Electric Charges 电荷的基本性质

  • 分正负 (positive & negative),异吸 (attract) 同斥 (repel)
  • electrically neutral object 的正负电荷平衡
  • 电荷守恒定律 (conservation of charge) :在任何 isolated system 中,电荷总数 (the algebraic sum of the charges) 保持不变
  • 电荷是 quantized (量子化) 的:电量的变化是分立 (discrete) 的;任何带电体的电量都是 元电荷 (basic charge) \(e\) 的整数倍

  • 原子模型:带负电的 电子 (electrons) 围绕着带正电的 原子核 (nucleus) 旋转
  • 原子核带正电是由于 质子 (protons) 的存在
  • 自然界中几乎所有的电荷都来自于电子与质子
  • 原子核中还有一种粒子 中子 (neutron),其是中性的,不携带任何电荷 (carrying no charge)
  • 在 SI 单位制 (SI unit) 中,电荷的单位是库伦 (coulomb, C)
  • 元电荷/基本电荷 (basic charge) 的数值大小是 \(|Q_e|=1.60\times 10^{-19} C\)
  • \(Q\) denotes for charge; \(e\) denotes for charge of a single electron/proton

Coulomb's Law 库伦定理

库伦定理是描述真空中静止点电荷之间的相互作用力的定理



注意:

r 是单位向量:若不乘上 r,公式计算的是 magnitude of \(F\)

\(\epsilon_0=8.854\times 10^{-12} \frac{C^2}{N \cdot m^2}\):真空电容率 (the capability of a vacuum to permit electric fields)

Electric Field 电场

对于距离为 \(r\) 的点电荷 (point charge) \(Q\) 与 检验电荷 (test charge) \(q\),它们之间的库伦力大小为



定义该点电荷 \(Q\) 的电场 \(E=\frac{F}{q}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}\)

电场只与点电荷 \(Q\) 与距离 \(r\) 相关,与检验电荷 \(q\) 无关

Field Lines 电场线

电场线是 虚构的,用于描述 电场强度 (Field Intensity) \(E\)



电场线上某点的电场方向:切线 (tangential to the field lines) 且指向箭头方向

电场强度:有多种表现方式:一般来说,电场线越密集 (dense) 的地方电场强度越大

Electric Flux 电通量

考虑一个球面 sphere



球心处的点电荷 \(+Q\) 总能引致 (by induction) 球面上产生 \(-Q\) 的电荷

我们引入电通量 (electric flux)/通量线 (flux line) 的概念

某点通量线的方向与场强 \(E\) 方向一致

电通量与电荷量成比例 (the amount of flux is proportional to the charge)

在 SI 单位制中,\(\Psi=Q\) (即该比例的 proportion constant 为 \(1\))

与电场线相似,通量线 (flux line) 用来描述电通量的方向与大小

  • 通量线由正电荷指向负电荷
  • 通量线互相排斥,不会相交
  • 电通量密度 (the density of electric flux) 与通量线密度成比例

根据电通量的定义不难看出,对任何闭合表面 (enclosed surface)而言

Total flux coming out \(=\) Total (+ve) charge enclosed (+ve means positive, -ve means negative)

Flux density D

电通量密度定义为



(注意:只计算垂直 perpendicular 通过该面积的电通量)

\(D\) 的方向与该点的场强 \(E\) 方向一致

\(\because D=\lim \limits_{s\to 0}\frac{\Psi}{s}\)

\(\therefore D \cdot \mathbf{ds} =d\Psi\) (ds 极小面积量: ds\(=ds \cdot\) n, n 为单位向量,方向向外垂直于该面积)

所以有高斯定律 (Gauss'Law)



(由于是对面积积分,因此这里是二重积分)

求 电通量密度 \(\mathbf{D}\)

在已知电荷分布 (charge distribution) 的情况下

找到这样一个闭合曲面 (closed surface) \(S\),使得

在该曲面上,电通量密度 \(\mathbf{D}\) 方向要么垂直于曲面,要么是曲面的切线

这意味着在该曲面上,\(\mathbf{D} \cdot d\mathbf{s}\) 要么是 \(Dds\) 要么是 \(0\) (注意:有向与无向的区别)

在 \(\mathbf{D} \cdot d\mathbf{s}\) 不为 \(0\) 的部分上,\(D=\) constant

想要找到这样的曲面 \(S\),需要利用电荷系统的对称性 (symmetry)

下面是几个常见的具有对称性的电荷系统

  • 带电的球 (charged sphere) 或点电荷 (point charge)
  • 无限长的均匀带电 line (infinite line with uniform line charge density)
  • 无限大的均匀带电板 (infinite plane with uniform surface charge density)

Gauss's Law 高斯定理

  • 通过点电荷 \(Q\) 在球面上的 Flux Density 推导



    根据对称性,点电荷在球面上的 Flux 是均匀分布

    考虑距点电荷 \(Q\) \(r\) 处的某球面,其 Flux

    \(\Psi=Q=\iint \limits_{surface} D \cdot ds= D\cdot 4\pi r^2\) (这是因为 Flux 均匀分布)

    \(\therefore \mathbf{D}=\frac{Q}{4\pi r^2} \cdot \mathbf{a_r}\)

    与该点的电场强度进行对比

    \(\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \cdot r^2} \cdot \mathbf{a_r}\)

    由此可得出结论 (重要!!)

    \(\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}\)

  • 高斯定理的积分形式 (integral form)



    因此

    Flux \(\Psi=\iint \epsilon \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}=Q\)

    这被称为高斯定理的积分形式

    此外,还有

    \(\iint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}\)

    这一形式的高斯定理 implies,在任何闭合空间 (closed space) 内,场强对面积的积分 \(=\) 该闭合空间内的净电荷量 (net charge) \(/\) 该空间的电容率 (permittivity, 即 \(\epsilon_0\))

  • 高斯定理:Points to Note 1

    高斯定理是麦克斯韦方程 (Maxwell's equations) 之一

    麦克斯韦方程是四个电磁学基本方程之一

  • 高斯定理:Points to Note 2

    高斯定理使得我们可以通过 电通量密度 \(\mathbf{D}\) 来计算 场强 \(\mathbf{E}\)

    (联想之前关于求电通量密度 \(\mathbf{D}\) 的对称系统)

Steady Magnetic Field 稳态磁场

  • 任何磁体 (magnetic),无论形状如何,都有南北两极
  • Poles exert forces on each other (同极相斥,异极相吸)
  • 单磁极 (single magnetic pole) 从未被分离出来:磁极总是成对出现
  • 永磁体 (permanent magnetic)移动电荷 (moving electric charge) 周围存在
  • 磁场是一个 vector (有向矢量),某点磁场的方向即该点小磁针北极的指向
  • 磁感线 (magnetic field line)

Magnetic Flux and Density

对比 电场强度 \(\mathbf{E}\) 与磁场强度 (magnetic field intensity) \(\mathbf{H}\)

我们提出几个相似的概念:磁通量 \(\phi\) (注意,是标量)磁通量密度 \(\mathbf{B}\)

(与电通量 \(\Psi\), 电通量密度 \(\mathbf{D}\) 作比较)



由于磁极一定成对出现,所有由正极出发的磁感线 (magnetic flux line) 都将回到负极

因此,对任意闭合曲面 (closed surface),其净磁通量 (net magnetic flux) 都为 \(0\)

(联想闭合曲面内的净电通量 net electric flux 为 \(Q\) : 这是因为正电荷可与负电荷分离,并不一定成对出现)

\(\phi=\int \limits_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}=0\)

这也是高斯定理应用在磁场上的表现形式

Maxwell's equation on static electric fields / steady magnetic fields

Electromagnetic Waves (EM) 电磁波

当电流变化时,相关的电场与磁场同样产生变化,并以波的形式在空气中传播

我们以这样的形式来 visualize EM:

一个交流发电机 (AC generator) 置于一条长且直的电路中央

交流发电机的运作会使电路中的电荷分布 (charge distribution) 产生变化,从而使电路周围电场强度 \(\mathbf{E}\) 发生变化

变化的电场以光速向外传播 (The changing field propogates outwards)



同样,周围的磁场强度 \(\mathbf{B}\) 同样会发生变化,且以光速向外传播



电场与磁场上是相互垂直 (perpendicular)的,且两者都与传播方向垂直,这样的波叫做横波 (traverse wave)

The Electromagnetic Spectrum 电磁波谱

电磁波谱根据电磁波的不同频率与波长进行分类

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