【洛谷】【动态规划(多维)】P1006 传纸条

【题目描述：】

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

【输入格式：】

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

【输出格式：】

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入样例#： 
 
输出样例#：

输入输出样例

[算法分析：]

设f[i][j][k][l]表示小渊走到点(i, j)小轩走到点(k, l)时的最大好心度之和

a[i][j]表示点(i, j)上的同学的好心度

则状态转移方程为：

　　f[i][j][k][l] = max{f[i - 1][j][k - 1][l], f[i - 1][j][k][l - 1], f[i][j - 1][k - 1][l], f[i][j - 1][k][l - 1]} + a[i][j] + a[k][l]

特判如果两个点在一个点上就只加一个a[i][j].

时间复杂度为O(n² * m²)（可以粗略地看成O(n⁴)）

关于优化：

仔细思考后发现可以把四维压到三维

此时f[i][j][k]表示小渊和小轩总共走了i步时小渊在第j行，小轩在第k行

则此时小渊的坐标为(j, i - j)，小轩的坐标为(k, i - k)

状态转移方程为：

　　f[i][j][k] = max{f[i - 1][j - 1][k], f[i - 1][j][k - 1], f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - 1][k - 1]} + a[j][i - j] + a[k][i - k]

注意此时f数组的第一维要开原来两倍的空间，还要判断列数合不合法.

时间复杂度O((n + m) * n²)（可以粗略地看成O(n³)）

[Code:]

 //P1006传纸条
 //688ms, 26.55MB
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 
 const int MAXN =  + ;
 
 int n, m;
 int a[MAXN][MAXN];
 int f[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
 
 inline int Max(int a, int b, int c, int d) { return max(max(max(a, b), c), d); }
 
 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i=; i<=n; ++i)
         for(int j=; j<=m; ++j)
             scanf("%d", &a[i][j]);
     for(int i=; i<=n; ++i)
     for(int j=; j<=m; ++j)
     for(int k=; k<=n; ++k)
     for(int l=; l<=m; ++l) {
         f[i][j][k][l] = Max(f[i-][j][k-][l], f[i-][j][k][l-],
                             f[i][j-][k-][l], f[i][j-][k][l-])+a[i][j]+a[k][l];
         if(i==k && j==l) f[i][j][k][l] -= a[i][j];
     }
     printf("%d\n", f[n][m][n][m]);
 }

未优化

 //P1006传纸条
 //16ms, 3MB
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 
 const int MAXN =  + ;
 
 int n, m;
 int a[MAXN][MAXN];
 int f[MAXN << ][MAXN][MAXN];
 
 inline int Max(int a, int b, int c, int d) { return max(max(max(a, b), c), d); }
 
 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i=; i<=n; ++i)
         for(int j=; j<=m; ++j)
             scanf("%d", &a[i][j]);
     for(int i=; i<=n+m; ++i)
     for(int j=; j<=n; ++j)
     for(int k=; k<=n; ++k) {
         int x1 = j, y1 = i - j,
             x2 = k, y2 = i - k;
         if(y1< || y2<) continue;
         f[i][j][k] = Max(f[i-][j-][k], f[i-][j][k-],
                          f[i-][j][k], f[i-][j-][k-])+a[x1][y1]+a[x2][y2];
         if(x1==x2 && y1==y2) f[i][j][k] -= a[x1][y1];
     }
     printf("%d\n", f[n+m][n][n]);
 }

降维优化