UVA294 约数 Divisors 题解
Content
给定 \(n\) 个区间 \([l,r]\),求出每个区间内约数个数最大的数。
数据范围:\(1\leqslant l<r\leqslant 10^{10}\),\(r-l\leqslant 10^4\)。
Solution
你可能需要在做这题目前了解一下约数个数定理。何谓约数个数定理?
设一个数 \(x\) 的个数可以分解为若干个质因数相乘的积,即:
\]
那么 \(x\) 的约数个数 \(f(x)\) 有一个这样的式子:
\]
如何证明?很简单,我们由约数定义可知,\(p_1^{a_1}\) 的约数有:\(p_1^0,p_1^1, p_1^2,\dots,p_1^{a_1}\),共 \(a_1+1\) 个。同理 \(p_2^{a_2}\) 的约数有 \(a_2+1\) 个……以此类推,\(p_k^{a_k}\) 的约数有 \(a_k+1\) 个。因此,由乘法原理可知,\(x\) 的约数个数就是 \((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)=\prod\limits_{i=1}^k(a_i+1)\)。
那么思路就非常清晰明了了:
- 预处理出 \(\sqrt{10^{10}}\) 以内的所有质数,可以用埃氏筛也可以用线性筛。
- 注意到 \(r-l\leqslant 10^4\),因此我们考虑直接从 \(l\) 到 \(r\) 枚举每一个数。
- 枚举每一个数时,我们枚举每一个质数,一旦发现这个质数是当前枚举到的数的因子,我们就不断地将当前枚举的数除以这个质因子,直到这个质数不再是当前述的因子为止。
- 设我们除了 \(num\) 次,然后我们往当前枚举的数的约数个数(初始化为 \(1\))去乘 \(num+1\)。当前数的质因子分解完了以后再和当前的答案比较,并更新答案。
Code
namespace Solution {
int cnt, isprime[100007], prime[100007];
iv ai_prime() {
F(int, i, 2, 100000) isprime[i] = 1;
F(int, i, 2, 100000) if(isprime[i]) Fo(int, j, i * 2, 100000, i) isprime[j] = 0;
F(int, i, 2, 100000) if(isprime[i]) prime[++cnt] = i;
}
iv Main() {
ai_prime();
MT {
ll l = Rll, r = Rll, ans = 0, res = l;
F(ll, i, l, r) {
ll p = i, num = 1;
for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] <= p; ++j) {
ll t = 0;
while(prime[j] && !(p % prime[j])) p /= prime[j], t++;
num *= (t + 1);
}
if(num > ans) res = i, ans = num;
}
printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of %lld divisors.\n", l, r, res, ans);
}
return;
}
}
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