Abstraction elimination

（本文不保证不误人子弟，切勿轻信）

Unlambda指的是lambda计算中去掉lambda操作（does not have lambda(or abstraction) operation of the lambda calculus），那实现消除abstraction是如何做到的呢？

一、基本的abstraction elimination

假设表达式F，我们想用它创建一个函数（function），将这个函数应用到X上，用符号表示变量并写成$x（即^xF，这里用^表示标准的lambda)，那么想得到unlambda，需要消除lambda operation。

对F来说，有三种情况：1. F是内建（函数）（或者是非$x的变量）；2. F是$x；3. F 是一个应用（函数），即 `GH，其中G和H是比F简单的表达式（就是降低F表达式复杂度），对这三种情况分别讨论：

1. 从^xF中消除lambda，其中F不依赖于$x，故可以将F看作是常函数，这是因为X是输入，F不依赖于输入自然就表示F是常函数，即 `kF

2. 从^x$x中消除lambda，对于输入X，这个函数返回就是$x，即自身，故对应i

3. 从^x`GH中消除lambda，假定我们已经知道如何从^xG和^xH中消除lambda，根据^x`GH意思是有一个输入X，而`GH表示应用G到H上，这表示可以将X传入到^xG 和^xH中，然后将后者结果作为前者的输入，这正是内建s的作用，故^x`GH对应

　　``s^xG^xH

总结如上规律，考虑消除^xF的lambda，注意这里的F可能是一个复杂的表达式，并且可能跟$x相关，对F从左往右看，遇到一个 `(backquote)，将其替代为 ``s， 遇到 $x 则替代为 i， 遇到任何内建函数或者非$x的变量，则在这个函数符号或者变量符号前加一个 `k，如果有几个lambda需要消除，从内部往外部消除，具体参见下面的例子b。

例子：

a.函数 ^x`$xk 的去lambda，此处我们用上面1)、2)和3)的规律来转换。

^x`$xk -> （F是`$xk，是复杂表达式，应用上面第三点）-> ``s^x$x^xk -> （分别对^x$x 和 ^xk 去lambda）-> ``si`kk

b.函数 ^x^y`$y$x 的去lambda，此处我们用上面的总结规律来转换（当然也可以根据1、 2、 3点规律老老实实的转换）

^x^y`$y$x -> （根据例子a的结论）-> ^x``si`k$x ->（根据总结规律先转换左部两个 ` ）-> ``s``s    si`k$x ->（从第三个s开始转换内建函数s和i，空白格是故意加上去为了区分左部是已经转换的，右部尚未转换）

　　　　　　-> ``s``s`ks`ki`    `k$x -> ``s``s`ks`ki``s`kki

如果给出了若干个lambda，那么abstraction eliminate后的表达式将会指数级增长（以3为底的指数）。一个 ` 变为 ``s，然后 ``s 变为 ``s``s`ks，然后又变为 ``s``s`ks``s``s`ks``s`kk`ks，依次类推。

二、高效的abstraction elimination

上面分析的第一种情况下，表达式F是内建函数或者是非$x的变量，则可以将lambda ^xF 写成 `kF，事实上，只要F不包含 x 就可以这么转换，因为此时 F 是与 x 无关的，可以将 F 看作是 x 的常量，此时可以不用遍历繁杂的F表达式而可以直接转换写成`kF。可以将这种转换看作 abstraction elimination的快捷方式（shortcut）。

有一点需要注意，这样的转换在 “纯的隐式类型的lambda计算” 领域可以很好的工作，或者在我们不用过多担心计算非终止（如死循环，或无限大列表）的情况下也是可以很好的工作。因为没有边界作用（side effect），当然目前我们所看到的函数确实不产生边界作用。可是，当我们写 ^xF的时候，我们可能是考虑到有边界作用的或者计算不能结束（因为是lambda），这个边界作用使得某些计算被延迟直到函数被应用到某个变量上（即，直到 $x 接收到一个值，哪怕那个值其实是被忽略的），所以如果我们使用shortcut并写成 `kF，那么一旦遇到这个表达式，F 就会被计算，即使这个函数没有被应用到某个参数变量，这跟原来的 ^xF的延迟性不吻合。

于是使用shortcut将 ^xF写成 `kF 的前提条件是 a）F 不包含 $x；b）计算 F 能计算出来并且没有边界作用。一个确保条件b）能满足的方法是检查F的应用形式为：内建函数 K 应用到一个参数上， 或者内建函数 S 应用到一个或两个参数上，或者内建函数 D 应用到任何表达式上。（这样保证F是无法立即被计算出来）

如果F不包含 x 但是包含一些可能导致边界作用或者无法计算完成（比如死循环）的计算，此时虽然不能使用 shortcut 转换，但仍然有另一种方法较高效地实现 abstraction elimination，即使用内建函数 D，转换成 `d`kF 。（可能，对于一个纯函数论者，他是不会在程序中使用 D 的。）

abstraction elimination的另一个快捷方法是将形如 ^x`F$x 转换为 F，当然这需要确保 F 中没有变量 $x。这在F不是内建函数 D 并且非 $x的情况下，转换非常快捷。然而如果 F 可能会产生边界作用时，跟其他shortcut一样，这种转换带有危险（也可以写成 `dF从而绕开这种危险）。

三、更多的unlambda内建函数

1. v 函数

v 函数好比一个黑洞，v需要一个输入参数，并忽略这个参数然后返回v自己，故 v 可以用来吞噬 N个参数。

v函数可以由 s，k 和 i 来实现（即，也可以使用 s 和 k 来实现）。

2.   .x 函数

.x 函数需要一个参数，并将这个参数打印到标准输出。 r 函数 是 .x 函数的一个实例，即x参数是一个换行符， 因此， `ri 的作用是打印一个新行， `rv 或者 `rr 或者 `r(anything) 都是打印一个新行，当然， r 函数本身不会做任何事情，因为 r 函数没有被应用到一个参数中。

3. d 函数

d 函数是一个特例。当unlambda准备计算 `FG，并且 F 计算出来为 d （比如 F 就是 d），那么 G 将不会被计算， 结果为 `dG， `dG允诺会计算G（a promise to evaluate G），只有在 `dG被应用到表达式H上（在此之前，G是保持未计算状态），这时，G 最终被计算出来（在 H 被计算出来之后），然后 再应用到 H 上。

例如， `d`ri 不会做任何事情（保持未计算状态）， ``d`rii 打印一个新行，因为 `d`ri 被应用到 i 上，于是 `ri（作为G）被计算出来为i（其副作用是打印新行），然后在应用到 i 上， 还是为 i 本身。另一个例子是 ``dd`ri ，打印一个空白行，事实上， `dd 首先被计算，根据 d 函数的特性，计算结果为允诺计算d（a promise to evaluate d），即可以看作第二个 d 被第一个 d 暂时封住了，所以不会阻止 `ri 打印新行，然后再 计算 d（第二个d），此时新行已经被打印。另一方面， ``id`ri 不会打印新行，因为 `id会被先计算出来为 d，阻止了后面的 `ri， 类似地， ```s`kdri 首先转为 ```kdi`ri （将`kd 看作 X，`r 看作 Y， i 看作 Z），然后 ``kdi 被计算为 d， 然后阻止了后面的 `ri， 故这个函数不会打印新行。

`d`kF 是另一个 promise 的形式（与 `dG 比较）：当这个函数 应用到 参数 Y 上， Y 被忽略，然后返回 F 。这在上文 abstraction elimination 中有关 shortcut 的讨论中提到（大概因为 d 函数的 promise 特性与边界作用类似吧）。