【2018 1月集训 Day1】二分的代价
题意:
现在有一个长度为 n的升序数组 arr 和一个数 x,你需要在 arr 中插入 x。
你可以询问 x 跟 arri 的大小关系,保证所有 arri 和 x 互不相同。这次询问的代价为 costi。
你需要返回 x 应该插入的位置,显然有 n+1 中可能的返回值。
现在给你 cost 数组,你需要制定方案,使得对于所有可能的情况花费代价(即询问的代价的和)的最大值最小,输出这个最小值。
制定方案的意思就是说你先询问一个 i,然后根据返回值决定接下来询问哪个 i,直到你可以确定答案为止。
分析:
这个题好神啊……我看了ztb大爷的代码……可能我理解的也不是很准确啊……那就三个月后再战此题吧……
首先可以看到,每个ai不超过9,所以最终的答案一定不大,最变态的上界也不过就是9logn,但是应该达不到。
我们设两个dp数组:
f[i][v]表示以i为当前区间的左端点,花费为v,最长能确定的区间的右端点。
g[i][v]表示以i为当前区间的右端点,花费为v,最长能确定的区间的左端点。(其实就是对称的)
那么我们可以看到,对于一个costi,假如我们付出这样的代价,那么在暂时不考虑左端点的情况下,最长的区间的右端点一定在f[i+1][v-costi],那我们该用这个点去更新哪个状态呢???
即为这个可行区间找一个最左端点,那么我们另一个数组就派上用场了,花费已经确定,那么我们就令:
f[g[i][v-costi]][v]=max(f[g[i][v-costi]][v], f[i+1][v-costi]);
或者换一种表达方式,就是在i这个点,我们花costi的花费,使总花费达到v,可以使g[i][v-costi]表示的这个点到f[i+1][v-cost]表示的这个点的区间可行。(这段区间最多用v的代价就可以检索到每一个值)
你看到我们的方程,发现i及i之前有一个花费v-costi达到的最远区间,i之后也是花费v-costi达到的最远区间,会不会两遍加起来的花费就超过了v-costi呢?
如果你这样想,说明你的理解和这道题的题意真的是阴阳两隔(没错就是我)。
题目里说的是根据返回的值来调整继续下去的决策,所以说,这一步操作就相当于是,假如我们询问了i,那么返回的参数如果是小于等于ai,我们就走左边那个区间来花掉剩下的v-costi,如果返回值告诉我们,我们的x大于ai,那么我们就往右查找,来花掉剩下的v-costi,根本不存在v-costi花两遍的情况,因为根本不可能既走左边又走右边!
另一个方程同理:g[f[i+1][v-costi]][v]=min(g[f[i+1][v-costi]][v],g[i][v-costi]);
当然,初始化就是f[i][v]=g[i][v]=i;
但是,有些costi由于太过不优,我们决策时会直接跳过,但是它会被之前某些决策所覆盖,所以也是需要更新的,于是就多了两个for循环来保证所有答案合法且最优。
当f[1][v]覆盖整个区间时,v就是题目的答案。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,M=;
int a[N],f[N][M],g[N][M],n;char s[N];
int main(){
scanf("%s",s+);n=strlen(s+);
for(int i=;i<=n;i++) a[i]=s[i]-'';
for(int v=;v<M;v++)
for(int i=;i<=n+;i++)
f[i][v]=g[i][v]=i;
for(int v=;v<M;v++){
for(int i=;i<=n;i++){
if(v<a[i]) continue;
f[g[i][v-a[i]]][v]=max(
f[g[i][v-a[i]]][v],f[i+][v-a[i]]);
g[f[i+][v-a[i]]][v]=min(
g[f[i+][v-a[i]]][v],g[i][v-a[i]]);
} for(int i=;i<=n+;i++)
f[i][v]=max(f[i][v],f[i-][v]);
for(int i=n;i;i--)
g[i][v]=min(g[i][v],g[i+][v]);
if(f[][v]==n+)
{printf("%d\n",v);return ;}
} return ;
}
dp
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