斜率优化专题1——bzoj 1597 [Usaco2008 Mar] 土地购买 题解
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【原题】
1597: [Usaco2008 Mar]土地购买
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 1396 Solved: 480
[Submit][Status]
Description
农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ能够同一时候购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 可是土地的长宽不能交换. 假设FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他须要付5x5=25.
FJ希望买下全部的土地,可是他发现分组来买这些土地能够节省经费. 他须要你帮助他找到最小的经费.
Input
* 第1行: 一个数: N
* 第2..N+1行: 第i+1行包括两个数,分别为第i块土地的长和宽
Output
* 第一行: 最小的可行费用.
Sample Input
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共同拥有4块土地.
Sample Output
HINT
FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.
Source
【分析】太神了!看了JokerPark大牛的博客,受益匪浅。可是有些地方開始还是没看懂,因此自己也推了半天公式。
设第i块地的长和宽是ai,bi。
①先考虑无效的边。设ai>=aj且bi>=bj,那么j一定是无效边。怎么求呢?首先我们把ai按升序排序,然后做一遍类似于单调队列的操作。枚举i,假设bi>=队列尾部的bj,那么尾指针就减1。由于a已经是升序排好了,ai>=aj是肯定的。
②去掉边后,我们还发现了一个有趣的性质。在队列中,由于a一定是升序排好的,那么b一定是降序的。(自己YY)
③于是DP方程呼之欲出:f[i]=max(f[i],f[j]+a[j+1]*b[i])。毫无疑问,这是一个超时的算法。如今就要推斜率优化了!!设在当前的状态f[i]时,从f[j]转移比f[k]优。那么f[j]+a[j+1]*b[i]<f[k]+a[k+1]*b[i]。化简一下:b[i]<(f[k]-f[j])/(a[j+1]-a[k+1])。说明,假设j和k满足上述要求,k能够无视了,由于j一定比k更优。依据这个,我们维护一个单调队列。
【代码】
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 50005
using namespace std;
struct arr{long long x,y;}a[N],b[N];
long long f[N],q[N],n,i,h,t,m;
bool cmp(arr a,arr b){return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y>b.y;}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
for (i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);
sort(b+1,b+n+1,cmp);
m=1;a[1].x=b[1].x;a[1].y=b[1].y;
for (i=2;i<=n;i++)
{
while (m&&b[i].y>a[m].y) m--;
a[++m].x=b[i].x;a[m].y=b[i].y;
}
h=1;t=1;q[1]=0;f[0]=0;
for (i=1;i<=m;i++)
{
while ((h<t)&&(a[i].x*(a[q[h]+1].y-a[q[h+1]+1].y)>f[q[h+1]]-f[q[h]])) h++;
f[i]=f[q[h]]+a[q[h]+1].y*a[i].x;
while ((h<t)&&(f[i]-f[q[t-1]])*(a[q[t]+1].y-a[i+1].y)>=(f[i]-f[q[t]])*(a[q[t-1]+1].y-a[i+1].y)) t--;
q[++t]=i;
}
printf("%lld",f[m]);
return 0;
}
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