【题解】球迷购票问题-C++

题目背景

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

题目描述

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

第一种:A A B B

第二种:A B A B

[编程任务]

对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式，可以使售票处不至于找不出钱。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，代表N的值

输出格式：

一个整数，表示方案数

输入输出样例

输入样例#1：

2

输出样例#1：

2

说明

必开QWORD

测试：N=15

回溯:1秒（超时）

模拟栈：大于10分钟

递归算法：1秒（超时）

动态规划：0 MS

组合算法：16 MS

题意：每个100元来之前必须有一个没走的50元，然后一起原地消失，让人想起了括号匹配

这道题目给出的方向已经很明确了（说明都给你测试了）

很显然，可行的操作只有动规和组合算法。

但是！不信邪的摸鱼酱用没有回溯的DFS跑了一遍感觉还行，20组数组超时了4组（17,18,19,20）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt;
void dfs(int a,int b,int step)
{
	if(b<a)return;
	if(a<0||b<0)return;
	if(step==2*n)
	{
		cnt++;
		return;
	}
	dfs(a-1,b,step+1);
	if(b>=a)dfs(a,b-1,step+1);
}
int main()
{
	cin>>n;
	dfs(n,n,0);
	cout<<cnt<<endl;
	return 0;
}

思路很清晰，来50的或者来100的，不符合情况直接return，代码也很简单。

但是终究是A不了啊！

倔强的摸鱼酱依然没有考虑给出的那两种可行方法

自学了卡特兰数，立志用膜法打败膜法 。

用到了上面链接那篇博客的公式②，想了解的可以去看一下。

代码没想到比DFS还要简单...

DFS 21行，这个只有11行

极简代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long h[20+2]={1,1},n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		h[i]=h[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
	cout<<h[n]<<endl;
	return 0;
}

ov.