2019牛客多校E Androgynos——自补图&&构造
题目
给出一个 $n$,判断是否存在 $n$ 个顶点的自补图,如果存在,输出边和映射。
分析
一个无向图若同构于它的补图,则称该图为自补图。
定理:一个自补图一定存在 $4k$ 或 $4k+1$ 个顶点.
证:
原图的边数+补图的边数=完全图的边数=n(n-1)/2
由于原图与补图同构,所以边数相等,
所以,原图的边数=n(n-1)/4,
边数肯定为整数,所以 4|n 或者 4|(n+1).
现在的问题是如何构造呢?
先考虑 $n=4k$,将其分成两半,
一半连接成完全图,一半为独立的点,
这样边数还不够,再将左上和右下一一相连,右上和左下一一相连。
很容易发现其补图变形一下就跟它一样,然后找一下对应关系。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; int n; int main()
{
int T, kase=;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d", &n);
printf("Case #%d: ", ++kase);
if(n % == )
{
printf("Yes\n");
int k = n/;
for(int i = ; i<= k;i++)
{
for(int j = ; j <= *k;j++)
{
if(j == i) printf("");
else printf("");
}
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("\n");
}
for(int i = k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ; j <= *k;j++)
{
if(j == i) printf("");
else printf("");
}
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("\n");
}
for(int i = *k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ;j <= k;j++) printf("");
for(int j = k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("\n");
}
for(int i = *k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ;j <= k;j++) printf("");
for(int j = k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("\n");
}
for(int i = *k;i >= *k+;i--) printf("%d ", i);
for(int i = *k;i >= *k+;i--) printf("%d ", i);
for(int i = k;i >= ;i--) printf("%d ", i);
for(int i = *k;i >= k+;i--) printf("%d%c", i, i == k+? '\n':' ');
}
else if(n % == )
{
printf("Yes\n");
int k = n/;
for(int i = ; i<= k;i++)
{
for(int j = ; j <= *k;j++)
{
if(j == i) printf("");
else printf("");
}
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("1\n");
}
for(int i = k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ; j <= *k;j++)
{
if(j == i) printf("");
else printf("");
}
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("1\n");
}
for(int i = *k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ;j <= k;j++) printf("");
for(int j = k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("0\n");
}
for(int i = *k+;i <= *k;i++)
{
for(int j = ;j <= k;j++) printf("");
for(int j = k+;j <= *k;j++) printf("");
for(int j = *k+;j <= *k;j++) printf("");
printf("0\n");
}
for(int i = ;i <= *k;i++) printf("");
for(int i = *k+;i <= *k+;i++) printf("");
printf("\n"); for(int i = *k;i >= *k+;i--) printf("%d ", i);
for(int i = *k;i >= *k+;i--) printf("%d ", i);
for(int i = k;i >= ;i--) printf("%d ", i);
for(int i = *k;i >= k+;i--) printf("%d ", i);
printf("%d\n", *k+);
}
else
{
printf("No\n");
}
}
}
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