[学习笔记]约数&欧拉函数

约数

一.概念

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

二.性质

1.整数唯一分解

1）定义

　　对于任意一个正整数N，都有 N=p1^c1*p2^c2...p_m^cm,其中p为质数。

2）正约数集合

　　　={p₁^b1*p₂^b2*...p_m^bm|0<=bi<=ci}

　  3）正约数的和

　　　f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）

　  4）正约数的个数

　　　=(c1+1)(c2+1)...(cm+1)

三.算法

　　1.正约数集合

　　　　1)试除法。一个一个试看能否被整除。推论：N的约数个数最多为2√N个

　　2.1~N中所有数字的正约数

　　　　1)试除

　　　　2)基本推论：i一定是i的倍数的约数

for(int i=;i<=n;++i){
    for(int j=;j<=n/i;++j){
        fac[i*j].push_back(i);
    }
} 

　　　　　时间复杂度NlnN

　　　　3)例题1 反质数 题解

　　　　　例题2 余数之和 题解

欧拉函数

一.概念

　　对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)

二.性质

　　1)求欧拉函数　　　

　　　　(其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数)

　　2)推导欧拉函数

　　　　对于素数p

　　　　当p|n时 φ(p*n)=φ(n)*p

　　　　否则 φ(p*n)=φ(n)*(p-1)

　　3)φ(p)=p-1 p为素数