维护区间的线段树

线段树主要就是在在PushUp和Query的时候注意怎么合并左右区间的信息就可以了。对于延迟标记的互相影响完全就是自己跟自己过不去，假如有多种延迟标记的话不妨在访问到一个区间时全部下推（只需要注意叶子层是不能下推的），从其他部分把常数补回来就可以了。

例1 维护加法和（修改：单点加值 询问：区间加法和）

  1. struct SegmentTree {
  2. #define ls (o<<1)
  3. #define rs (o<<1|1)
  4.     static const int MAXN = 100000;
  5.     ll a[MAXN + 5];
  6.     ll st[(MAXN << 2) + 5];
  8.     void PushUp(int o) {
  9.         st[o] = st[ls] + st[rs];
  10.     }
  12.     void Build(int o, int l, int r) {
  13.         if(l == r)
  14.             st[o] = a[l];
  15.         else {
  16.             int m = l + r >> 1;
  17.             Build(ls, l, m);
  18.             Build(rs, m + 1, r);
  19.             PushUp(o);
  20.         }
  21.     }
  23.     void Update(int o, int l, int r, int p, ll v) {
  24.         if(l == r) {
  25.             st[o] += v;
  26.             return;
  27.         } else {
  28.             int m = l + r >> 1;
  29.             if(p <= m)
  30.                 Update(ls, l, m, p, v);
  31.             if(p >= m + 1)
  32.                 Update(rs, m + 1, r, p, v);
  33.             PushUp(o);
  34.         }
  35.     }
  37.     ll Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
  38.         if(ql <= l && r <= qr) {
  39.             return st[o];
  40.         } else {
  41.             int m = l + r >> 1;
  42.             ll res = 0;
  43.             if(ql <= m)
  44.                 res = res + Query(ls, l, m, ql, qr);
  45.             if(qr >= m + 1)
  46.                 res = res + Query(rs, m + 1, r, ql, qr);
  47.             return res;
  48.         }
  49.     }
  50. #undef ls
  51. #undef rs
  52. };

例2 维护加法和（修改：区间加值 询问：区间加法和）

  1. struct SegmentTree {
  2. #define ls (o<<1)
  3. #define rs (o<<1|1)
  4.     static const int MAXN = 100000;
  5.     ll a[MAXN + 5];
  6.     ll st[(MAXN << 2) + 5], lazy[(MAXN << 2) + 5];
  8.     void PushUp(int o) {
  9.         st[o] = st[ls] + st[rs];
  10.     }
  12.     void PushDown(int o, int l, int r) {
  13.         if(lazy[o]) {
  14.             lazy[ls] += lazy[o];
  15.             lazy[rs] += lazy[o];
  16.             int m = l + r >> 1;
  17.             st[ls] += lazy[o] * (m - l + 1);
  18.             st[rs] += lazy[o] * (r - m);
  19.             lazy[o] = 0;
  20.         }
  21.     }
  23.     void Build(int o, int l, int r) {
  24.         if(l == r)
  25.             st[o] = a[l];
  26.         else {
  27.             int m = l + r >> 1;
  28.             Build(ls, l, m);
  29.             Build(rs, m + 1, r);
  30.             PushUp(o);
  31.         }
  32.         lazy[o] = 0;
  33.     }
  35.     void Update(int o, int l, int r, int ql, int qr, ll v) {
  36.         if(ql <= l && r <= qr) {
  37.             lazy[o] += v;
  38.             st[o] += v * (r - l + 1);
  39.             return;
  40.         } else {
  41.             PushDown(o, l, r);
  42.             int m = l + r >> 1;
  43.             if(ql <= m)
  44.                 Update(ls, l, m, ql, qr, v);
  45.             if(qr >= m + 1)
  46.                 Update(rs, m + 1, r, ql, qr, v);
  47.             PushUp(o);
  48.         }
  49.     }
  51.     ll Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
  52.         if(ql <= l && r <= qr) {
  53.             return st[o];
  54.         } else {
  55.             PushDown(o, l, r);
  56.             int m = l + r >> 1;
  57.             ll res = 0;
  58.             if(ql <= m)
  59.                 res = res + Query(ls, l, m, ql, qr);
  60.             if(qr >= m + 1)
  61.                 res = res + Query(rs, m + 1, r, ql, qr);
  62.             return res;
  63.         }
  64.     }
  65. #undef ls
  66. #undef rs
  67. };

例3 维护最大最小值（修改：区间加值 询问：区间最大最小值）

  1. struct SegmentTree {
  2. #define ls (o<<1)
  3. #define rs (o<<1|1)
  4.     static const int MAXN = 1000000;
  5.     static const int INF = 0x3f3f3f3f;
  6.     int mi[(MAXN << 2) + 5];
  7.     int ma[(MAXN << 2) + 5];
  8.     int lz[(MAXN << 2) + 5];
  10.     void PushUp(int o) {
  11.         mi[o] = min(mi[ls], mi[rs]);
  12.         ma[o] = max(ma[ls], ma[rs]);
  13.     }
  15.     void PushDown(int o, int l, int r) {
  16.         if(lz[o]) {
  17.             lz[ls] += lz[o];
  18.             lz[rs] += lz[o];
  19.             //int m = l + r >> 1;
  20.             mi[ls] += lz[o];
  21.             mi[rs] += lz[o];
  22.             ma[ls] += lz[o];
  23.             ma[rs] += lz[o];
  24.             lz[o] = 0;
  25.         }
  26.     }
  28.     void Build(int o, int l, int r) {
  29.         if(l == r) {
  30.             mi[o] = 0;
  31.             ma[o] = 0;
  32.         } else {
  33.             int m = l + r >> 1;
  34.             Build(ls, l, m);
  35.             Build(rs, m + 1, r);
  36.             PushUp(o);
  37.         }
  38.         lz[o] = 0;
  39.     }
  41.     void Update(int o, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
  42.         if(ql <= l && r <= qr) {
  43.             lz[o] += v;
  44.             mi[o] += v;
  45.             ma[o] += v;
  46.         } else {
  47.             PushDown(o, l, r);
  48.             int m = l + r >> 1;
  49.             if(ql <= m)
  50.                 Update(ls, l, m, ql, qr, v);
  51.             if(qr >= m + 1)
  52.                 Update(rs, m + 1, r, ql, qr, v);
  53.             PushUp(o);
  54.         }
  55.     }
  57.     int QueryMin(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
  58.         if(ql <= l && r <= qr) {
  59.             return mi[o];
  60.         } else {
  61.             PushDown(o, l, r);
  62.             int m = l + r >> 1;
  63.             int res = INF;
  64.             if(ql <= m)
  65.                 res = QueryMin(ls, l, m, ql, qr);
  66.             if(qr >= m + 1)
  67.                 res = min(res, QueryMin(rs, m + 1, r, ql, qr));
  68.             return res;
  69.         }
  70.     }
  72.     int QueryMax(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
  73.         if(ql <= l && r <= qr) {
  74.             return ma[o];
  75.         } else {
  76.             PushDown(o, l, r);
  77.             int m = l + r >> 1;
  78.             int res = -INF;
  79.             if(ql <= m)
  80.                 res = QueryMax(ls, l, m, ql, qr);
  81.             if(qr >= m + 1)
  82.                 res = max(res, QueryMax(rs, m + 1, r, ql, qr));
  83.             return res;
  84.         }
  85.     }
  86. #undef ls
  87. #undef rs
  88. } st;

这种线段树可以简单拓展：加多一个标记，记录这个区间的最值出自哪个元素。尤其容易维护出最左侧/最右侧的最值。

维护值域的线段树（权值线段树）

需要先离线所有可能的取值，然后离散化到线段树可以接受的空间范围。每个节点存当前的值域的信息，最简单的应用是维护当前值域的元素共有多少个。那么可以在线段树上二分，返回当前线段树中的第k大。这种情形用于在某些情况下替代平衡树的功能，优点是常数相对平衡树而言很小，对于插入数据的顺序有要求，有时可能还要求离线。真正在线维护全树第k大的只有平衡树。

  1. struct SegmentTree {
  2. #define ls (o<<1)
  3. #define rs (o<<1|1)
  4.     static const int MAXN = 100000;
  5.     int cnt[(MAXN << 2) + 5];
  7.     void PushUp(int o) {
  8.         cnt[o] = cnt[ls] + cnt[rs];
  9.     }
  11.     void Build(int o, int l, int r) {
  12.         if(l == r)
  13.             cnt[o] = 0;
  14.         else {
  15.             int m = l + r >> 1;
  16.             Build(ls, l, m);
  17.             Build(rs, m + 1, r);
  18.             PushUp(o);
  19.         }
  20.     }
  22.     //修改值为p的元素的个数，增量为v，且不能为负
  23.     void Update(int o, int l, int r, int p, int v) {
  24.         if(l == r) {
  25.             cnt[o] += v;
  26.             if(cnt[o] < 0)
  27.                 cnt[o] = 0;
  28.             return;
  29.         } else {
  30.             int m = l + r >> 1;
  31.             if(p <= m)
  32.                 Update(ls, l, m, p, v);
  33.             if(p >= m + 1)
  34.                 Update(rs, m + 1, r, p, v);
  35.             PushUp(o);
  36.         }
  37.     }
  39.     //查询<=x的元素的个数
  40.     int GetRank(int o, int l, int r, int x) {
  41.         if(r <= x) {
  42.             return cnt[o];
  43.         } else {
  44.             int m = l + r >> 1;
  45.             if(x <= m)
  46.                 return GetRank(ls, l, m, x);
  47.             else
  48.                 return cnt[ls] + GetRank(rs, m + 1, r, x);
  49.         }
  50.     }
  52.     //查询最小的x，使得<=x的元素个数>=rk（第rk小）
  53.     int GetValue(int o, int l, int r, int rk) {
  54.         if(l == r) {
  55.             return l;
  56.         } else {
  57.             int m = l + r >> 1;
  58.             if(cnt[ls] >= rk)
  59.                 return GetValue(ls, l, m, rk);
  60.             else
  61.                 return GetValue(rs, m + 1, r, rk - cnt[ls]);
  62.         }
  63.     }
  64. #undef ls
  65. #undef rs
  66. } st;

注意：这里面传入的参数都应该是离散化之后的值。权值线段树不能用一次递归实现GetPrev()和GetNext()，需要通过给离散化的值做出一些修改，然后组合GetRank()和GetNext()才可以实现。优势在于代码短，常数小。

动态开点权值线段树

不再需要提前离散化了。

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