Loj #3044. 「ZJOI2019」Minimax 搜索

题目描述

九条可怜是一个喜欢玩游戏的女孩子。为了增强自己的游戏水平，她想要用理论的武器武装自己。这道题和著名的 Minimax 搜索有关。

可怜有一棵有根树，根节点编号为 $1$。定义根节点的深度为 $1$，其他节点的深度为它的父亲的深度加一。同时在叶子节点权值给定的情况下，可怜用如下方式定义了每一个非节点的权值：

- 对于深度为奇数的非叶子节点，它的权值是它所有子节点的权值最大值。

- 对于深度为偶数的非叶子节点，它的权值是它所有子节点的权值最小值。

最开始，可怜令编号为 $i$ 的叶子节点权值为 $i$，并计算得到了根节点的权值为 $W$。

现在，邪恶的 Cedyks 想要通过修改某些叶子节点的权值，来让根节点的权值发生改变。Cedyks 设计了一个量子攻击器，在攻击器发动后，Cedyks 会随机获得一个非空的叶子节点集合 $S$ 的控制权，并可以花费一定的能量来修改 $S$ 中的叶子节点的权值。

然而，修改叶子节点的权值也要消耗能量，对于 $S$ 中的叶子节点 $i$，它的初始权值为 $i$，假设 Cedyks 把它的权值修改成了 $w_i$（$w_i$ 可以是任意整数，包括负数），则 Cedyks 在这次攻击中，需要花费的能量为 $\max_{i\in S} |i − w_i|$。

Cedyks 想要尽可能节约能量，于是他总是会*以最少的能量来完成攻击*，即在花费的能量最小的情况下，让根节点的权值发生改变。令 $w(S)$ 为 Cedyks 在获得了集合 $S$ 的控制权后，会花费的能量。特殊地，对于某些集合 $S$，可能无论如何改变 $S$ 中叶子节点的权值，根节点的权值都不会发生改变，这时，$w(S)$ 的值被定义为 $n$。为了方便，我们称 $w(S)$ 为 $S$ 的稳定度。

当有 $m$ 个叶子节点的时候，一共有 $2^m − 1$ 种不同的叶子节点的非空集合。在发动攻击前，Cedyks 想要先预估一下自己需要花费的能量。于是他给出了一个区间 $[L, R]$，他想要知道对于每一个 $k \in [L, R]$，有多少个集合 $S$ 满足 $w(S) = k$。

输入格式

第一行输入三个整数 $n, L, R(n \ge 2, 1 \le L \le R \le n)$。

接下来 $n − 1$ 行每行两个整数 $u, v$，表示树上的一条边。

输出格式

输出一行 $R − L + 1$ 个整数，第 $i$ 个整数表示 $w(S)$ 为 $L + i − 1$ 的集合 $S$ 有多少个。答案可能会很大，请对 $998244353$ 取模后输出。

数据范围与提示

对于 $100\%$ 的数据，保证 $2\leq n \leq 10^5, 1 \le L \le R \le n$。

$\\$

首先考虑$70$分的暴力：

考虑先求答案的前缀和再差分，即求稳定度$\leq k$的集合数量，记为$ans_k$。设$1$号点最终的权值是$W$。那么其他的点要改变的话要么为$W+1$，要么为$W-1$。设$leaf_i$表示第$i$个点为根的子树中叶子节点的个数。

我们发现$ans_1=2^{leaf_1-1}$，也就是该集合必须包含$W$，其他的点任意。然后对于$k>1$，我们求答案的反面，也就是使得最终$1$号点的权值不变的集合数量。我们先将$1$到$W$这条链上单独提出来，然后对于一个深度为奇数的点，我们要令它的所有不在这条链上的叶子节点的权值都$\leq W$，反正则必须都$\geq W$。这个可以用树形$DP$解决。

以$\leq W$为例。设$f_v$表示使得$v$的权值$\leq W$的方案数，转移的时候按度数讨论：

度数为奇数：$f_v=\prod_{u\in son_v}f_u$。
度数为偶数：$f_v=2^{leaf_v}-\prod_{u\in Son_v}(2^{leaf_u}-f_u)$

第二类情况就是先算答案的反面在求正面。

然后考虑$v$是叶子的情况：$f_v=[v\leq W]+[v+k\leq W]$。前一个是不选$v$，后一个是选了$v$。

复杂度时$O(n*(R-L+1))$。

正解的话发现每次$k+1$后最多两个叶子的权值发生了变化，用动态$DP$维护就好了。

具体细节还是有点多，首先将$1$到$W$这条链上的其他子树进行树剖，然后$\leq W$和$\geq W$要分别维护。维护的是概率，方便转移。对于每个点，我们要维护其虚儿子的：

\[F_v=\prod_u f_u\\
G_v=\prod_{u}(1-f_u)
\]

转移矩阵的话也奇偶讨论一下。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 200005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}
struct info {
	ll a,z;
	info() {a=1,z=0;}
	info(ll _a,ll _z) {a=_a,z=_z;}
	ll val() {return z?0:a;}
};
info operator *(const info &x,const info &y) {return info(x.a*y.a%mod,x.z+y.z);}
info operator /(const info &x,const info &y) {return info(x.a*ksm(y.a,mod-2)%mod,x.z-y.z);}
info operator *(info x,ll y) {
	if(y==mod) y=0;
	if(y) x.a=x.a*y%mod;
	else x.z++;
	return x;
}
info operator /(info x,ll y) {
	if(y==mod) y=0;
	if(y) x.a=x.a*ksm(y,mod-2)%mod;
	else x.z--;
	return x;
}
struct matrix {
	ll a[4];
	matrix() {memset(a,0,sizeof(a));}
};
matrix operator *(const matrix &x,const matrix &y) {
	matrix z;
	z.a[0]=(x.a[0]*y.a[0])%mod;
	z.a[1]=(x.a[0]*y.a[1])%mod;
	z.a[2]=(x.a[2]*y.a[0]+y.a[2])%mod;
	z.a[3]=(x.a[2]*y.a[1]+y.a[3])%mod;
	return z;
}
const ll inv2=mod+1>>1;
int n,L,R;
int val[N];
bool leaf[N];
int size[N];
ll pw[N];
struct road {int to,nxt;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}
int fa[N];
int dep[N];
int son[N],SIZE[N];
bool key[N];
void dfs(int v,int fr) {
	int flag=0;
	if(dep[v]&1) val[v]=0;
	else val[v]=1e9;
	SIZE[v]=1;
	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
		int to=s[i].to;
		if(to==fr) continue ;
		dep[to]=dep[v]+1;
		flag=1;
		dfs(to,v);
		SIZE[v]+=SIZE[to];
		if(SIZE[son[v]]<SIZE[to]) son[v]=to;
		fa[to]=v;
		size[v]+=size[to];
		if(dep[v]&1) val[v]=max(val[v],val[to]);
		else val[v]=min(val[v],val[to]);
	}
	if(!flag) {
		size[v]=1;
		leaf[v]=1;
		val[v]=v;
	}
}
int dfn[N],lst[N],id;
int top[N],bot[N];
struct ST {
	int flag;
	info F[N],G[N];
	struct tree {
		int l,r;
		matrix st;
	}tr[N<<2];
	void update(int v) {tr[v].st=tr[v<<1|1].st*tr[v<<1].st;}
	void build(int v,int l,int r) {
		tr[v].l=l,tr[v].r=r;
		if(l==r) return ;
		int mid=l+r>>1;
		build(v<<1,l,mid),build(v<<1|1,mid+1,r);
	}
	void Modify(int v,int p) {
		if(tr[v].l>p||tr[v].r<p) return ;
		if(tr[v].l==tr[v].r) {
			int now=lst[p];
			memset(tr[v].st.a,0,sizeof(tr[v].st.a));
			ll *a=tr[v].st.a;
			if((dep[now]&1)==flag) {
				a[0]=F[now].val();
				a[1]=(mod-G[now].val())%mod;
				a[3]=G[now].val();
			} else {
				a[0]=G[now].val();
				a[1]=(mod-G[now].val())%mod;
				a[2]=(mod+1-G[now].val())%mod;
				a[3]=G[now].val();
			}
			return ;
		}
		Modify(v<<1,p),Modify(v<<1|1,p);
		update(v);
	}
	matrix query(int v,int l,int r) {
		if(l<=tr[v].l&&tr[v].r<=r) return tr[v].st;
		int mid=tr[v].l+tr[v].r>>1;
		if(r<=mid) return query(v<<1,l,r);
		else if(l>mid) return query(v<<1|1,l,r);
		else return query(v<<1|1,l,r)*query(v<<1,l,r);
	}
	ll query(int v) {
		if(v==bot[v]) {
			return F[v].val();
		} else {
			ll f=F[bot[v]].val();
			matrix tem=query(1,dfn[v],dfn[bot[v]]-1);
			return (f*tem.a[0]+tem.a[2])%mod;
		}
	}
	void Change(int v,int f) {
		for(int i=top[v];!key[fa[i]];i=top[fa[i]]) {
			ll f=query(i);
			F[fa[i]]=F[fa[i]]/f;
			G[fa[i]]=G[fa[i]]/(mod+1-f);
		}
		F[v]=info(1,0)*f;
		Modify(1,dfn[v]);
		for(int i=top[v];!key[fa[i]];i=top[fa[i]]) {
			ll f=query(i);
			F[fa[i]]=F[fa[i]]*f;
			G[fa[i]]=G[fa[i]]*(mod+1-f);
			Modify(1,dfn[fa[i]]);
		}
	}
}Mn,Mx;
int Find_top(int v) {
	v=top[v];
	while(!key[fa[v]]) v=top[fa[v]];
	return v;
}
info now;
void Div(int v,int tp) {
	dfn[v]=++id;
	lst[id]=v;
	top[v]=tp;
	bot[v]=v;
	if(son[v]) {
		Div(son[v],tp);
		bot[v]=bot[son[v]];
	}
	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
		int to=s[i].to;
		if(to==fa[v]||to==son[v]) continue ;
		Div(to,to);
		ll fmx=Mx.query(to),fmn=Mn.query(to);
		Mx.F[v]=Mx.F[v]*fmx;
		Mx.G[v]=Mx.G[v]*(mod+1-fmx);
		Mn.F[v]=Mn.F[v]*fmn;
		Mn.G[v]=Mn.G[v]*(mod+1-fmn);
	}
	if(leaf[v]) {
		ll mx=((val[v]<=val[1])+(val[v]+2<=val[1]))*inv2%mod;
		Mx.F[v]=Mx.F[v]*mx;
		ll mn=((val[v]>=val[1])+(val[v]-2>=val[1]))*inv2%mod;
		Mn.F[v]=Mn.F[v]*mn;
	}
	Mx.Modify(1,dfn[v]);
	Mn.Modify(1,dfn[v]);
}
void dfs2(int v) {
	key[v]=1;
	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
		int to=s[i].to;
		if(to==fa[v]) continue ;
		if(val[to]==val[v]) dfs2(to);
		else {
			Div(to,to);
			if(dep[v]&1) {
				now=now*Mx.query(to);
			} else {
				now=now*Mn.query(to);
			}
		}
	}
}
ll ans[N];
int main() {
	n=Get(),L=Get(),R=Get();
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int a=Get(),b=Get();
		add(a,b),add(b,a);
	}
	dep[1]=1;
	dfs(1,0);
	Mx.flag=1;
	Mx.build(1,1,n);
	Mn.build(1,1,n);
	dfs2(1);
	ans[1]=inv2;
	ans[2]=((1+mod-now.val())*inv2+inv2)%mod;
	ans[n]=1;
	for(int i=3;i<n;i++) {
		int x=val[1]-i+1,y=val[1]+i-1;
		if(x>0&&leaf[x]&&!key[x]) {
			int tp=Find_top(x);
			if(dep[tp]&1) now=now/Mn.query(tp);
			else now=now/Mx.query(tp);
			Mx.Change(x,inv2);
			if(dep[tp]&1) now=now*Mn.query(tp);
			else now=now*Mx.query(tp);
		}
		if(y<=n&&leaf[y]&&!key[y]) {
			int tp=Find_top(y);
			if(dep[tp]&1) now=now/Mn.query(tp);
			else now=now/Mx.query(tp);
			Mn.Change(y,inv2);
			if(dep[tp]&1) now=now*Mn.query(tp);
			else now=now*Mx.query(tp);
		}
		ans[i]=((1+mod-now.val())*inv2+inv2)%mod;
	}
	ll pw2=ksm(2,size[1]);
	for(int i=n;i>=1;i--) ans[i]=(ans[i]-ans[i-1]+mod)*pw2%mod;
	ans[n]=(ans[n]-1+mod)%mod;
	for(int i=L;i<=R;i++) cout<<ans[i]<<" ";
	return 0;
}