P-Function
题意:
对于集合 $S = {1, 2, ...., n}$ , 定义函数 $F(x) = y, x, y$ 属于 $S$,对于任何 $x$ 属于 $S$,
有 $F(F...F(x)) = x$, $F$ 出现了 $K$ 次,则这个函数为 $P-function$,问 $P-function$ 的数量。
解法:
注意到 $P-function$ 实质上是 一个 $1$ ~ $n$ 的置换,对于该置换中的所有循环,有 $length | K$。
考虑dp,
$f(i, j)$ 表示考虑前 $i$ 个 $K$ 的因数,确定了 $j$ 个元素的循环形状的方案数。
假定当前循环长度为 $d$,这样考虑每一次决定好 当前剩余最小元素所在的循环。
这样有:
$f(i,j) = \sum{ f(i-1, j-d) C_{j-1}^{d-1} (d-1)!}$
应用滚动数组,复杂度$O(n \sqrt n)$
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>>
#include <algorithm> #define N 20010
#define P 1000000007LL
#define LL long long using namespace std; LL inv[N], f[N], fac[N], rfac[N];
vector<int> Div; LL qpow(LL x,int n)
{
LL ans = ;
for(;n;n >>= , x = x * x % P)
if(n & ) ans = ans * x % P;
return ans;
} LL comb(int n, int m)
{
if(n < m) return ;
return fac[n] * rfac[n-m] %P * rfac[m] %P;
} int main()
{
inv[] = ;
fac[] = ;
rfac[] = ;
for(int i = ;i < N;i++)
{
fac[i] = fac[i-] * i % P;
inv[i] = qpow(i, P-);
rfac[i] = qpow(fac[i], P-);
}
int T, n, K;
cin >> T;
while(T--)
{
cin >> n >> K;
Div.clear();
for(int i = ;i*i <= K;i++)
if(K % i == )
{
Div.push_back(i);
if(i * i != K) Div.push_back(K / i);
}
sort(Div.begin(),Div.end());
f[] = 1LL;
for(int i = ;i <= n;i++)
{
f[i] = ;
for(int j = ;j < (int)Div.size() && Div[j] <= i;j++)
f[i] += f[i - Div[j]] * comb(i - , Div[j] - ) %P * fac[Div[j]-] %P;
f[i] %= P;
}
cout << f[n] << endl;
}
return ;
}
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