现代数字信号处理—

1. AR模型概念观

AR模型是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据（设推出P点），所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点（或少数几点）去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。

数字信号处理功率谱估计方法分经典功率谱估计和现代功率谱估计，现代功率谱估计以参数模型功率谱估计为代表，参数功率谱模型如下：

u(n) ——> H(z) ——> x(n)

参数模型的基本思路是：

—— 参数模型假设研究过程是由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

—— 由假设参数模型的输出x(n)或其自相关函数 $formdata=\small+r_x(m)$ 来估计H(z)的参数

—— 由H(z)的参数估计x(n)的功率谱

因此，参数模型功率谱的求解有两步：

（1）H(z)模型参数估计

（2）依据模型参数求功率谱

AR模型（自回归模型，Auto Regression Model）是典型的现代参数功模型。其定义为

$formdata=\large+x(n)=-\sum_{k=1}^p+a_kx(n-k)+u(n)+\n+\\++++++++++++++++++++++ \large+H(z)=\frac+1{1+\sum_{k=1}^p+a_kz^{-k}}+\\ \large+P_x(e^{j\omega})=\frac+{\delta^2}+{\mid{1+\sum_{k=1}^p+a_ke^{-j\omega+k}}\mid^2}$

其中，输入设定为方差为 $formdata=\delta^2$ 的白噪声序列，ak是模型的参数，p是模型的阶数，Px为x(n)功率谱，也即本文要求解的目标。

AR模型是一个全极点模型，“自回归”的含义是：现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。

现在我们希望建立AR参数模型和x(n)的自相关函数的关系，也即AR模型的正则方程：

$formdata=\large \begin{pmatrix}+r_x(0)&++r_x(1)&++r_x(2)&++...&++r_x(p)+\\ r_x(1)&++r_x(2)&++r_x(3)&++...&++r_x(p-1)+\\ r_x(2)&++r_x(3)&++r_x(4)&++...&++r_x(p-2)+\\ \vdots&++\vdots&++\vdots&++\vdots&++\vdots+\\ r_x(p)&++r_x(p-1)&++r_x(p-2)&++...&++r_x(0)+\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\a_1\\a_2\\\vdots\\a_p+\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\delta^2\\0\\0\\\vdots\\0+\end{pmatrix}$

上面的正则方程也称Yule-Walker方程，其中的rx为自相关函数。由方程可以看出，一个p阶的AR模型有p+1个参数（ $formdata=a_1,a_2,...a_p,\delta^2$ ）。

通过推导可以发现，AR模型与线性预测器是等价的，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。

2. AR模型参数求解——Levinson-Durbin Algorithm

定义 $formdata=a_m(k)$ 为p阶AR模型在m阶次时的第k个系数，k=1,2,...,m。定义 $formdata=\rho_m$ 为m阶系统时的 $formdata=\delta^2$ ，这也是线性预测器中前向预测的最小误差功率。此时，一阶AR模型时有

$formdata=\large+a_1(1)=-\frac{r_x(1)}{r_x(0)}$

$formdata=\large+\rho_1=r_x(0)\{1-a_1^2(1)\}$

我们定义初始时 $formdata=\rho_0=r_x(0)$ ，则

$formdata=\large+\rho_1=\rho_0\{1-a_1^2(1)\}$

由PART1中矩阵的对称性质，将上面的公式推广到高阶AR模型，可以推导出Levinson-Durbin递推算法：

$formdata=\large+a_m(m)=-[\sum_{k=1}^{m-1}a_{m-1}(k)r_x(m-k)+r_x(m)]/\rho_{m-1}$

$formdata=\large+a_m(k)=a_{m-1}(k)+a_m(m)a_{m-1}(m-k)$

$formdata=\large+\rho_m=\rho_{m-1}[1-a_m^2(m)]$

Levinson-Durbin递推算法从低阶开始递推，，给出了每一阶次时所有参数，。这一特点有利于我们选择合适的AR模型阶次。

因为 $formdata=\rho$ 必须大于0，由式 $formdata=\rho_m=\rho_{m-1}[1-a_m^2(m)]$ 知 $formdata=|a_m(m)|<1$ ，如果 $formdata=|a_m(m)|=1$ ，递推应该停止。

到此，选择最佳阶次的参数代入到 $formdata=P_x(e^{j\omega})$ 中，求得功率谱。

3. matlab实现

matlab工具箱中提供了现成的函数实现AR模型功率谱计算。参考[2]，我们将内容摘录如下：

AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容。

1．AR模型的Yule—Walker方程和Levinson-Durbin递推算法：在MATLAB中，函数levinson和aryule都采用Levinson-Durbin递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,……,ap及白噪声序列的方差，只是两者的输入参数不同，它们的格式为：

A=LEVINSON(R,ORDER) A=ARYULE(x,ORDER)

两函数均为定阶ORDER的求解，但是函数levinson的输入参数要求是序列的自相关函数，而函数aryule的输入参数为采样序列。

下面语句说明函数levinson和函数aryule的功能是相同的：

例子：

randn('seed',0)

a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;

r=xcorr(x,'biased');

r(1:length(x)-1)=[];

A=levinson(r,5)

B=aryule(x,5)

2．Burg算法：

格式为：A=ARBURG(x,ORDER); 其中x为有限长序列，参数ORDER用于指定AR模型的阶数。以上面的例子为例：

randn('seed',0)

a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;

A=arburg(x,5)

3.改进的协方差法：

格式为：A=ARMCOV(x,ORDER); 该函数用来计算有限长序列x(n)的ORDER阶AR模型的参数。例如：输入下面语句：

randn('seed',0)

a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;

A=armcov(x,5)

AR模型阶数P的选择：

AR模型阶数P一般事先是不知道的，需要事先选定一个较大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson—Durbin递推方法时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率Pmin（相当于白噪声序列的方差）是递减的。直观上讲，当预测误差功率P达到指定的希望值时，或是不再发生变化时，这时的阶数即是应选的正确阶数。

因为预测误差功率P是单调下降的，因此，该值降到多少才合适，往往不好选择。比较常见的准则是：

最终预测误差准则：FPE(r)=Pr{[N+(r+1)]/ [N-(r+1)]}

信息论准则：AIC(r)=N*log(Pr)+2*r

上面的N为有限长序列x(n)的长度，当阶数r由1增加时，FPE(r) 和AIC(r)都将在某一r处取得极小值。将此时的r定为最合适的阶数p。

MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：

1． Pyulear函数：

功能：利用Yule--Walker方法进行功率谱估计.

格式： Pxx=Pyulear(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)

Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)

说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yule--Walker方法估计序列x的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256，若NFFT为偶数，则Pxx为（NFFT/2 + 1）维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx为（NFFT + 1）/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。

[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，返回一个频率向量W.

[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)中，可以在F向量得到功率谱估计的频率点，Fs指定采样频率。

Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)中，直接画出功率谱估计的曲线图。

2． Pburg函数：

功能：利用Burg方法进行功率谱估计。

格式：Pxx=Pburg(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs)

Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)

说明：Pburg函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数。

3． Pcov函数：

功能：利用协方差方法进行功率谱估计。

格式：Pxx=Pcov(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs)

Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)

说明：Pcov函数采用协方差法估计AR模型的参数，然后计算序列x的功率谱。协方差法与改进的协方差法相比，前者仅令前向预测误差为最小，其他步骤是一样的。：Pcov函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数.

4.Pmcov:

功能：利用改进的协方差方法进行功率谱估计。

格式：Pxx=Pmcov(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT)

[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs)

Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)

例如：输入下面语句：

figure 8.10--8.11

Fs=1000; %采样频率

n=0:1/Fs:3;

xn=cos(2*pi*n*200)+randn(size(n));

%设置参数

order=20;

nfft=1024;

%Yule-Walker方法

figure(1)

pyulear(xn,order,nfft,Fs);

%Burg方法

figure(2)

pburg(xn,order,nfft,Fs);

%协方差法

figure(3)

pcov(xn,order,nfft,Fs);

%改进协方差方法

figure(4)

pmcov(xn,order,nfft,Fs);

AR谱的分辨率：

经典谱估计的分辨率反比与信号的有效长度,但是现代谱估计的分辨率可以不受此限制. 这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)，虽然其估计出的相关函数也是有限长的，但是现代谱估计的一些方法隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，因而AR谱的分辨率较高。

例如：序列x(n)由两个正铉信号组成，其频率分别为f1=20Hz和f2=21Hz,并含有一定的噪声量。试分别用周期图法，Burg方法与改进的协方差法估计信号的功率谱，且AR模型的阶数取30和50两种情况讨论。

上面的例子可以通过下面程序实现：

Fs=200;

n=0:1/Fs:1;

xn=sin(2*pi*20*n)+sin(2*pi*21*n)+0.1*randn(size(n));

window=boxcar(length(xn));

nfft=512;

[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);

figure(1)

plot(f,10*log10(Pxx)),grid

xlabel('Frequency(Hz)')

ylabel('Power Spectral Density(dB/Hz)')

title('Periodogram PSD Estimate')

order1=30;

order2=50;

figure(2)

pburg(xn,order1,nfft,Fs)

figure(3)

pburg(xn,order2,nfft,Fs)

figure(4)

pmcov(xn,order1,nfft,Fs)

figure(5)

pmcov(xn,order1,nfft)

LMS自适应滤波器是使滤波器的输出信号与期望响应之间的误差的均方值为最小，因此称为最小均方（LMS）自适应滤波器。其原理及推导见http://download.csdn.net/source/432206

function [yn,W,en]=LMS(xn,dn,M,mu,itr)

% LMS(Least Mean Squre)算法

% 输入参数:

%     xn   输入的信号序列      (列向量)

%     dn   所期望的响应序列    (列向量)

%     M    滤波器的阶数        (标量)

%     mu   收敛因子(步长)      (标量)     要求大于0,小于xn的相关矩阵最大特征值的倒数

%     itr  迭代次数            (标量)     默认为xn的长度,M<itr<length(xn)

% 输出参数:

%     W    滤波器的权值矩阵     (矩阵)

%          大小为M x itr,

%     en   误差序列(itr x 1)    (列向量)

%     yn   实际输出序列             (列向量)

% 参数个数必须为4个或5个

if nargin == 4                 % 4个时递归迭代的次数为xn的长度

    itr = length(xn);

elseif nargin == 5             % 5个时满足M<itr<length(xn)

    if itr>length(xn) | itr<M

        error('迭代次数过大或过小!');

    end

else

    error('请检查输入参数的个数!');

end

% 初始化参数

en = zeros(itr,1);             % 误差序列,en(k)表示第k次迭代时预期输出与实际输入的误差

W  = zeros(M,itr);             % 每一行代表一个加权参量,每一列代表-次迭代,初始为0

% 迭代计算

for k = M:itr                  % 第k次迭代

    x = xn(k:-1:k-M+1);        % 滤波器M个抽头的输入

    y = W(:,k-1).' * x;        % 滤波器的输出

    en(k) = dn(k) - y ;        % 第k次迭代的误差

    % 滤波器权值计算的迭代式

    W(:,k) = W(:,k-1) + 2*mu*en(k)*x;

end

% 求最优时滤波器的输出序列

yn = inf * ones(size(xn));

for k = M:length(xn)

    x = xn(k:-1:k-M+1);

    yn(k) = W(:,end).'* x;

end

LMS函数的一个实例：

%function main()

close  all

% 周期信号的产生

t=0:99;

xs=10*sin(0.5*t);

figure;

subplot(2,1,1);

plot(t,xs);grid;

ylabel('幅值');

title('it{输入周期性信号}');

% 噪声信号的产生

randn('state',sum(100*clock));

xn=randn(1,100);

subplot(2,1,2);

plot(t,xn);grid;

ylabel('幅值');

xlabel('时间');

title('it{随机噪声信号}');

% 信号滤波

xn = xs+xn;

xn = xn.' ;   % 输入信号序列

dn = xs.' ;   % 预期结果序列

M  = 20   ;   % 滤波器的阶数

rho_max = max(eig(xn*xn.'));   % 输入信号相关矩阵的最大特征值

mu = rand()*(1/rho_max)   ;    % 收敛因子 0 < mu < 1/rho

[yn,W,en] = LMS(xn,dn,M,mu);

% 绘制滤波器输入信号

figure;

subplot(2,1,1);

plot(t,xn);grid;

ylabel('幅值');

xlabel('时间');

title('it{滤波器输入信号}');

% 绘制自适应滤波器输出信号

subplot(2,1,2);

plot(t,yn);grid;

ylabel('幅值');

xlabel('时间');

title('it{自适应滤波器输出信号}');

% 绘制自适应滤波器输出信号,预期输出信号和两者的误差

figure

plot(t,yn,'b',t,dn,'g',t,dn-yn,'r');grid;

legend('自适应滤波器输出','预期输出','误差');

ylabel('幅值');

xlabel('时间');

title('it{自适应滤波器}');

参考：现代数字信号处理——AR模型

LMS算法MatLab实现