题意:

根据离散数学的内容知道,一个二元关系是一个二元有序组<x, y>的集合。

然后有一些特殊的二元关系,比如等价关系,满足三个条件:

  • 自反性,任意的x,都有二元关系<x, x>
  • 对称性,如果有<x, y>则有<y, x>
  • 传递性,如果有<x, y>和<y, z>,则有<x, z>

现在要统计满足后两条,但不满足第一个条件的二元关系的个数。

题中的证明是对的:

If , then (according to property (2)), which means (according to property (3)).

但是前提条件不一定存在,比如对于a,没有一个b满足那么后面的推导就无从谈起了。

不妨把这些不和其他元素(包括自己)产生二元关系的元素称作「空」的。

只要至少有一个「空」的元素,而且其他的元素都在某个等价类里面,就满足题目中的要求。

枚举非「空」元素的个数k(1 ≤ k ≤ n),选出k个元素有C(n, k)中方案,再乘上将k个元素划分为若干个等价类的方案数eq[k],累加起来就是答案。

eq数组可以这样计算:

设d(i, j)为将i个元素划分为j个不同等价类的方案数,d(i, j) = d(i-1, j) * j + d(i-1, j-1) //考虑第i个数加入已有的j个等价类,或者自己成为一个新的等价类

那么eq[i] = sum{ d(i, j) | 0 ≤ j ≤ i }

 #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = + ;
const LL MOD = ; LL C[maxn][maxn], d[maxn][maxn]; void add(LL& x, LL y)
{
x += y;
if(x >= MOD) x -= MOD;
} int main()
{
int n; scanf("%d", &n); for(int i = ; i <= n; i++) C[i][] = C[i][i] = ;
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j < i; j++) C[i][j] = (C[i-][j] + C[i-][j-]) % MOD; d[][] = ;
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= i; j++) d[i][j] = (d[i-][j] * j + d[i-][j-]) % MOD; LL ans = ;
for(int i = ; i < n; i++)
{
LL eq = ;
for(int j = ; j <= i; j++) add(eq, d[i][j]);
ans = (ans + C[n][i] * eq) % MOD;
} printf("%I64d\n", ans); return ;
}

代码君

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