noip_最后一遍_1-数学部分

它就是要来了

noip数论一般会以三种形式呈现

注 码风可能有些毒 （有人说我压行qwq） 大概保持标准三十五行左右

为什么是三十五行呢 因为我喜欢这个数字 我喜欢三十五而已（足球球衣也会用这个号哒）

1.结论规律与打表技巧

这类的题最杰出的代表是小凯的疑惑

打表技巧的话主要是研究三个要点

1.一个输入数据和模数时

oeis这个时候最好用了 不过没有

我们需要重点研究的是递推关系，差，二阶差这样

这时候我们会发现三类数据

· 等差等比二阶等差二阶等比等差等比………………这种都是有通项的 考验数学能力

· 与二进制和唯一分解定理有关

这个内容多 展开说

lowbit 1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5…………这个东西太常见了 不就是x&(-x)么 好的 可以开始考虑o n 数学方法比如化简Σ之类的

唯一分解定理目前我所见都很天然的 一眼就能看出来

二进制的1个数 这个东西是个阶梯状函数 所以也是比较容易找到规律的 至于如何统计 大概只能枚举位数

· 递推-这个时候就看一下数据 如果小或者递推关系复杂 就考虑dp与暴力枚举，否则上矩阵（一定要注意一下）

2.两到三个数据 没什么办法 直接找

3.一行数据（那其实是不等式和贪心）排序值 均值大概率在考纲之中 柯西的话我想没那么好出

本部分需要用的模板 所有代码最新手打测试无误可以使用

1.快速幂、快速乘

快速幂 ：a^p-2=a^(-1)(modp);

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #define ll long long
 using namespace std;
 ll n,k,x,a,b;
 ll ksc(ll a,ll b,ll p){ll ans=,base=a;
     for(;b;b>>=){if(b&)ans+=base,ans%=p;
         base*=,base%p;
     }return ans;
 }
 int main(){cin>>a>>b>>n;
     cout<<ksc(a,b,n)<<endl;
 }

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,k,x,a,b;
ll ksm(ll a,ll x,ll p){ll ans=,base=a;
    for(;x;x>>=){if(x&)ans*=base,ans%=p;
        base*=base,base%p;
    }return ans;
}
int main(){cin>>a>>b>>n;
    cout<<ksm(a,b,n)<<endl;
}

2.线性筛素数 phi mu

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 5000001
 bool isprime[maxn];int n,m,sum=,prime[maxn];
 void shai(){
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!isprime[i])prime[sum++]=i;
         for(int j=;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
             isprime[i*prime[j]]=;if(i%prime[j]==)break;
         }
     }
 }int main(){
     cin>>n;shai();for(int i=;i<=n;i++)cout<<prime[i]<<" ";
 }

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 5000001
 bool isprime[maxn];int n,m,sum=,prime[maxn],phi[maxn];
 void shai(){phi[]=,phi[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!isprime[i])prime[sum++]=i,phi[i]=i-;
         for(int j=;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
             isprime[i*prime[j]]=;phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
             if(i%prime[j]==){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
         }
     }
 }int main(){
     cin>>n;shai();for(int i=;i<=n;i++)cout<<phi[i]<<" ";
 }

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 5000001
 bool isprime[maxn];int n,m,sum=,prime[maxn],phi[maxn],mu[maxn];
 void shai(){phi[]=,phi[]=;mu[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!isprime[i])prime[sum++]=i,phi[i]=i-,mu[i]=-;
         for(int j=;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
             isprime[i*prime[j]]=;phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);mu[i*prime[j]]=-mu[i];
             if(i%prime[j]==){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j],mu[i*prime[j]]=;break;}
         }
     }
 }int main(){
     cin>>n;shai();for(int i=;i<=n;i++)cout<<mu[i]<<" ";
 }

3.数论分块 这是个技巧……

4.矩阵快速幂

这个有点烦的是一直dev调试这个会出大问题 好像就是dev5.4.2的bug一样

他在调试时会自己死机 一会又好了 有时候烦的一批 鬼使一样

并且奇特的是新建矩阵居然不会自动清空这就很奇特

可能是个大bug 5.4.2的版本会出这个问题 考试时候可能是5.4.2 所以说解决办法就只有一个 一遍打对，每次新建memset

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 105
 #define mod 1000000007
 struct matrix{ll a[maxn][maxn],len,row;}m1;ll n,m,k,l;
 matrix jc(matrix a,matrix b){
 matrix now;now.len=b.len,now.row=a.row;memset(now.a,,sizeof(now.a));
     for(int i=;i<=a.row;i++){
         for(int j=;j<=b.len;j++){
             for(int k=;k<=a.len;k++){
                 now.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j],now.a[i][j]%=mod;
             }
         }
     }return now;
 }matrix ksm(matrix a,ll x){
     matrix base=a,ans;ans.len=a.len,ans.row=a.row;memset(ans.a,,sizeof(ans.a));
     for(int i=;i<=a.len;i++)ans.a[i][i]=;
     for(;x;x>>=){
         if(x&)ans=jc(ans,base);
         base=jc(base,base);
     }return ans;

 }
 int main(){cin>>n>>k;m1.len=m1.row=n;
     for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=n;j++)cin>>m1.a[i][j];
     m1=ksm(m1,k);
     for(int i=;i<=n;i++){for(int j=;j<=n;j++)cout<<m1.a[i][j]<<" ";
     cout<<endl;}return ;
 }

5.二进制 这也是技巧 没有代码

这一类题大概也就这样 真的出来了什么鬼题也没办法

2.正宗数论

其实有意思的一匹 很有意思

1.带余除法为核心

·逆元线性递推

设 t=ki+b;求t^(-1)

图片出处-guessycb暗中给了我许多 十分感谢

 #include<iostream>
 using namespace std;
 #define maxn 5000005
 #define ll long long
 ll n,m,p,f[maxn];
 int main(){cin>>n>>p;
     f[]=;for(int i=;i<=n;i++){
         f[i]=(p-p/i)*f[p%i]%p;
     }for(int i=;i<=n;i++)printf("%lld\n",f[i]);
 }

2.唯一分解定理为核心 这个都知道就是什么因子和因子个数 有的时候你以为很暴力 不过由于那个基本时间复杂度定理 它是跟n的或者log的或者on的

3.exgcd为核心

这个大概有两类出法 1.青蛙的约会——荒野猎人 这两个基本是必做题吧 ab可不互质啊

求同余方程解 a=b(modc)->ax+cy=b; （a,c）=d;

有ax0+cy0=1 x=(x0*(b/d)+p)%p*c  此处p为x取值周期

第二类 关于gcd、lcm 那个乘积代换式一定不会单独考 因为太low

gcd这个物质它不但可以与exgcd建立莫大的联系 还可以维系phi mu 莫比乌斯反演 那种东西其实很套路 有趣的一匹

跟exgcd的时候　　我们熟知 m(a,b)=(ma,mb)=m(a+b,b)这样就是他 还真有这么几道题

4.crt 一张图

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 1000005
 ll n,m[maxn],l,a[maxn],t[maxn],M=,k[maxn],ans=;
 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     if(!b){x=,y=;return ;}
     exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
 }
 ll qpow(ll a,ll x,ll p){ll ans=,base=a;
     for(;x;x>>=){
         if(x&)ans=ans*base%p;
         base=base*base%p;
     }return ans;
 }
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++)cin>>a[i]>>m[i],M*=m[i];
     for(int i=;i<=n;i++){t[i]=M/m[i];exgcd(t[i],m[i],k[i],l);
     k[i]=(k[i]%m[i]+m[i])%m[i];
     ans=(ans+a[i]*t[i]*k[i])%M;
     }cout<<ans<<endl;
 }

5.卢卡斯 它的本质是模数意义下的c 配合crt求出原始值（古代猪文）

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 300005
 ll f[maxn],inv[maxn],n,m,k,p;
 ll qpow(ll a,ll x,ll p){ll ans=,base=a;
     for(;x;x>>=){
         if(x&)ans=ans*base%p;base=base*base%p;
     }return ans;
 }
 ll c(ll n,ll m,ll p){if(m<n)return ;
     ll a=qpow(f[n],p-,p),b=qpow(f[m-n],p-,p);
     return f[m]*a*b%p;
 }
 ll lucas(ll n,ll m,ll p){
     if(!n)return ;
     return c(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
 }
 int main(){cin>>k;
     while(k--){
         cin>>n>>m>>p,f[]=;
         for(int i=;i<maxn;i++)f[i]=f[i-]*i%p;
         cout<<lucas(n,n+m,p)<<endl;
     }
 }

6.欧拉定理和马小

有个题叫a^b^c%p

这个东西怎么求呢 就是欧拉定理 a^b=a^((b%phi[p])+phi[p])(modp)但是需要特判

（1）当n>1,(a,n)=1时, a^b%n=a^b%φ(n)%n
（2）当b≤φ(n)时，直接计算即可。
（3）当b>φ(n)时 , 刚才的式子

7.phi的用法

几个零碎的点

·观察者问题

·互质对 这个说一下 求Σ(1-n)Σ(1-m)【gcd（i，j）==1】是那个莫反套路

刻意背过也可以 ∑    i=1-n∑   j=1-m   [gcd(i,j)=1]  =∑  i=1-n  μ(i)  ⌊n/i⌋∗⌊m/i⌋

如果把第二个m变成n就大不一样了

对于1每个n（1-n）与他互质且比他小（避免算重）的个数就是phi【i】

·母函数与二项式定理

考过二项式定理裸题 母函数的话主要是求 一个奇怪的组合数 然后对函数加减

不过noip不太会考它

3.几何和组合

数学的话还要看一手几何和组合数学

有点相同 所以一起看一手

组合——几个方法

·隔板法 要求划分出非空k集 =c(k,n+1)有空集一样 等于每个集合多个元素罢了

·折线法 其实是组合和坐标的加和

（1,1）-》（n,m）方案=c（n,n+m）;

然后 我们考虑一种到达目标点且不经过固定几何图形的方案数

其实就是容斥，目标点关于几何图形对称 方案数就是相减

·高级容斥 想清楚要求什么 什么好求

几何

·矢量叉积-求面积 夹角

·矢量旋转

已知任意一个平面向量ab=(x,y) ，把向量ab绕其起点沿逆时针方向旋转a角得到向量AP=（xcosa-ysina，xsina+ycosa）

一堆操作 在这个板子里 还有就是旋转九十度什么的就直接搞点就行 向量用不着

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int n;double ans,m;
 struct node{double x,y;}a[];
 node add(node a,node b){node c;c.x=a.x+b.x,c.y=a.y+b.y;return c;}//+
 node niadd(node a,node b){node c;c.x=a.x-b.x,c.y=a.y-b.y;return c;}//-

 double dot(node a,node b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//·
 double cha(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//*

 double len(node a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}// |a|
 double squ(){ // S
     for(int i=;i<n;i++)ans+=(double)cha(a[i],a[i+])/;
     ans+=(double)cha(a[n],a[])/;
     return fabs(ans);
 }
 double geta(node a,node b){//获得小夹角cos值
     return dot(a,b)/(len(a)*len(b));
 }
 node rotate(node a,double coss){//旋转arccosa度（正向）（逆时针）
     double sins=sqrt(-coss*coss);
     node c;c.x=a.x*coss-a.y*sins,c.y=a.x*sins+a.y*coss;
     return c;
 }
 double angle(double cosa){
     return acos(cosa);
 }

 node adjust(node a,double b){
     a.x*=b/len(a),a.y*=b/len(a);return a;
 }
 int main(){
     cin>>n>>m;for(int i=;i<=n;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y;
     printf("%.4f\n",squ()*(double)m);
 }

·凸包

这个真的捞 因为手打队列具有无比的优势 就是他需要访问栈顶第二个元素 求出上凸壳然后怎么办呢 noip的话大概二分y轴会有机会考吧

还有就是凸包可以做直线的相交问题

尤其是相交+极值。

上几个板子

1.洛谷模板 叉积判断夹角正负

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 struct node{double x,y;}p[],s[];
 int n;double ans,mid;
 double CJ(node a1,node a2,node b1,node b2){
     return (a2.x-a1.x)*(b2.y-b1.y)-(b2.x-b1.x)*(a2.y-a1.y);
 }
 double dis(node p1,node p2){
     return sqrt( (double)(p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y)*1.0+(double)(p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x)*1.0 );
 }
 bool cmp(node p1,node p2){
     double tmp=CJ(p[],p1,p[],p2);if(tmp>) return ;
     if(tmp== && dis(p[],p1)<dis(p[],p2)) return ;
     return ;
 }

 int main(){scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;++i){
         scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
         if(i!=&&p[i].y<p[].y){
             mid=p[].y;p[].y=p[i].y;p[i].y=mid;
             mid=p[].x;p[].x=p[i].x;p[i].x=mid;
         }
     }
     sort(p+,p++n,cmp);s[]=p[];int tot=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         while(tot>&&CJ(s[tot-],s[tot],s[tot],p[i])<=) tot--;
         tot++;s[tot]=p[i];
     }s[tot+]=p[];
     for(int i=;i<=tot;i++) ans+=dis(s[i],s[i+]);
     printf("%.2lf\n",ans);return ;
 }

2.板子中的板子[HNOI2008]水平可见直线

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define maxn 50005
 #define ll long long
 ll n,m,k,a,b,c,s[maxn],top=,ans[maxn];
 struct node{int k,b,id;}l[maxn];
 bool cmp(node a,node b){
     return a.k==b.k?a.b>b.b:a.k<b.k;
 }double getx(int a,int b){
     return (double)(l[a].b-l[b].b)/(double)(l[a].k-l[b].k);
 }
 int main(){
     cin>>n;for(int i=;i<=n;i++)cin>>l[i].k>>l[i].b,l[i].id=i;
     sort(l+,l+n+,cmp);
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(l[i].k==l[i-].k&&i!=)continue;
         while(top>&&getx(s[top],i)>=getx(s[top],s[top-]))top--;
         s[++top]=i;
         ans[top]=l[i].id;
     }sort(ans,ans+top+);
     for(int i=;i<=top;i++)printf("%d ",ans[i]);
 }

·三分

noip很可能在考纲里因为它就是二分的翻版。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 ll n,m,k;double a[],l,r;
 double f(double pos){double ans=;
     for(int i=;i<=n+;i++){
         ans+=pow(pos,n-i+)*a[i];
     }return ans;
 }
 double sanfen(double l,double r){
     if(r-l<0.000001)return l;
     double mid1=l+(r-l)/,mid2=r-(r-l)/;
     if(f(mid1)>f(mid2))return sanfen(l,mid2);
     else return sanfen(mid1,r);
 }
 int main(){
     cin>>n>>l>>r;
     for(int i=;i<=n+;i++)cin>>a[i];
     printf("%.5f",sanfen(l,r));
 }

4.其他

细数了一下其实剩下的只有俩——高斯消元与行列式和线型基 要是考什么bsgs 就很烦了 不过bsgs还是看一看最好

另外什么牛顿迭代 matrixtree之类的谁知道他会不会灵性来一下 都发下

高消（行列式矩阵树都是对对角线矩阵求积）构造矩阵自己查吧 这个好像不属于板子（逃）

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<vecotr>
 #define maxn 100
 using namespace std;
 int n,m,k,l,a,b,c;
 double mp[maxn][maxn];
 int main(){
     cin >> n;for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n+;j++)
             cin>>mp[i][j];
     for(int j=;j<=n;j++){
         int rgt=;
         for(int i=j;i<=n;i++)
             if(mp[i][j]){rgt=i;break;}
         if(!rgt)continue;
         if(rgt^j)swap(mp[rgt],mp[j]);

         for(int i=j+;i<=n;i++){
             double div=mp[i][j]/mp[j][j];
             for(int k=;k<=n+;k++)mp[i][k]-=div*mp[j][k];
         }
     }
     for(int j = n; j >= ; j --){
         if(mp[j][j] == ){cout<<"No Solution"; return ;}
         mp[j][n+] =  mp[j][n+] / mp[j][j];
         for(int i = j-; i >= ; i --)mp[i][n+] -= mp[j][n+] * mp[i][j];
     }
     for(int i = ; i <= n; i ++)printf("%.2lf\n" ,mp[i][n+]);
     return ;
 }

牛顿迭代求高次开跟

 #include<bits/stdc++.h>
 #define first 233.0
 #define ll long long
 #define ld double
 ld n,m,k,l,a,b,c,x;
 using namespace std;
 ll ksm(ll a,ll x){ll base=a,ans=;
     for(;x;x>>=){
         if(x&)ans=base*ans;
         base=base*base;
     }
     return ans;
 }
 int main(){
     cin>>a>>m;x=first;
     for(int i=;i<=;i++)x=x-x/m+a/((ld)*m*ksm(x,m-));
     cout<<x<<endl;
 } 

线型基

这个东西只有一种用处 求最大异或和

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define ll long long
 #define maxn 105
 ll n,m,k=,l,s[maxn],a[maxn];
 void insert(ll x){
     for(int i=;i>=;i--){if(!x)return ;
         if((x&(1ll<<i))!=){
             if(!s[i])s[i]=x;
             x^=s[i];
         }
     }
 }
 int main(){
     cin>>n;for(int i=;i<=n;i++)cin>>a[i],insert(a[i]);
     for(int i=;i>=;i--)if((k^s[i])>k)k^=s[i];
     cout<<k<<endl;return ;
 }

那么数论基本结束了

高斯消元是薄弱点 第二次争取全对（其实有错更好）

祝rp++ 高分预定！！！