bzoj4830 hnoi2017 抛硬币

题目描述

小 A 和小 B 是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小 B 沉迷于**师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到 SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小 A 为了劝说小 B 早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小 B 明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛 b 次硬币，如果小 A 的正面朝上的次数大于小 B 正面朝上的次数，则小 A 获胜。

但事实上，小 A 也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次 UR 也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小 B 没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小 B 怀疑，他不会抛太多次。现在小 A 想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小 B 呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后 k 位即可。

输入输出格式

输入格式：

有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次数，以及最终答案保留多少位整数。

输出格式：

对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后 k 位为多少，若不足 k 位以 0 补全。

题意：

小A可以抛a次硬币，小B可以抛b次硬币(a>=b)问小A抛出正面的次数比小B多的情况种数，输出对10的k次方取余(k<=9);

题解：

①这是一个利用对应关系进行构造的组合问题：

如果每一种小A赢情况对应(把a,b次抛出的结果正面变成反面)一种小B赢的情况，那么总可能数/2就是答案，但是事实上不是，在可能会有小A无论在两种情况下都是比小B多，或者小A在两种情况下都小于等于小B的次数，为此，就只有分a=b和a>b讨论。

②a=b

A和B掷出的正面相同，小A两种情况都赢不了

$F = \sum_{i=0}^{a}C_{a}^{i}C_{a}^{i}=\sum_{i=0}^{a}C_{a}^{i}C_{a}^{a-i} = C_{2a}^{a}$

(a选i个再在另外a个选a-i个和在2a个里选a个一一对应)

$ans = \frac{2^{2a}-F}{2} = \frac{2^{2a}-C_{2a}^{a}}{2}$

③a>b

A和B掷出的正面满足A>B且a-A>b-B时小A两种情况都可以赢小B

$G = \sum_{i=0}^{b}\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{i}C_{a}^{i+j} = \sum_{i=0}^{b}\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{b-i}C_{a}^{i+j} = \sum_{j=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{j+b}$ 

(b个里选b-i个再在a个里选i+j个一一对应在a+b个里选b+j个)

$ans = \frac{2^{2a}+G}{2} = \frac{2^{2a}+\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{j+b}}{2}$

剩下的组合数取模用扩展lucas就好了，只是稍稍有点变化。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #define ll long long
 #define Maxn 1000000001
 #define RG register
 #define il inline
 using namespace std;
 ll a,b,K,mod,mod2,mod5,v[][];
 ll pw(ll x,ll y,ll Mod){
     ll res = ;
     while(y){
         if(y&) res = res * x % Mod;
         y>>=; x = x * x % Mod;
     }
     return res;
 }
 void init(ll k,ll mx){
     ll typ = k!=;
     v[typ][] = ;
     for(RG ll i = ;i <= mx;i++){
         if(i%k) v[typ][i] = v[typ][i - ]*i % mx;
         else v[typ][i] = v[typ][i - ];
     }
 }
 inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     if(!b) {x = ,y = ;}
     else exgcd(b,a%b,y,x),y -= a/b*x;
 }
 ll inv(ll a,ll p){
     ll x,y; exgcd(a,p,x,y);
     return (x%p+p)%p;
 }
 il ll mul(ll n,ll p,ll pk){
     if(!n) return ;
     ll ret = pw(v[p!=][pk],n / pk,pk) * v[p!=][n % pk] % pk;
     return ret * mul(n / p,p,pk) % pk;
 }
 ll C(ll n,ll m,ll p,ll pk,ll fg){
     if(n<m) return ;
     ll cnt = ;
     for(RG ll i = n;i;i/=p) cnt += i / p;
     for(RG ll i = m;i;i/=p) cnt -= i / p;
     for(RG ll i = (n - m);i;i/=p) cnt -= i / p;
     if(p==&&fg) cnt--;
     if(cnt>=K) return ;
     ll s1 = mul(n,p,pk),s2 = mul(m,p,pk),s3 = mul(n - m,p,pk);
     ll ret = pw(p,cnt,pk) * s1 % pk * inv(s2,pk) % pk * inv(s3,pk) % pk;
     if(p==&&fg) ret = ret * inv(,pk) % pk;
     return ret * (mod / pk) % mod * inv(mod / pk,pk) % mod;
 }
 ll lucas(ll n,ll m,ll fg) {return (C(n,m,,mod2,fg) + C(n,m,,mod5,fg)) % mod;}
 int main()
 {    //freopen("bzoj4830.in","r",stdin);
     //freopen("bzoj4830.out","w",stdout);
     init(,); init(,);
     while(cin >> a >> b >> K){
         mod2 = pw(,K,Maxn); mod5 = pw(,K,Maxn); mod = pw(,K,Maxn);
         ll ans = pw(,a + b - ,mod);
         if(a==b) ans = (ans - lucas(a+b,a,) + mod) % mod;
         else {
             for(RG ll i = (a+b)/+;i<a;i++) ans = (ans + lucas(a+b,i,))%mod;
             if(!((a+b)%)) ans = (ans + lucas(a+b,(a+b)/,)) % mod;
         }
         while(ans<mod/) mod/=,printf("");
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }//by tkys_Austin;

(快省选了，关于扩lucas,扩gcd，扩CRT的叙述后面有时间可能会补上)