2014NOIP普及组 子矩阵

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先看题面：

题目描述
给出如下定义：
子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出格式：
输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
输入输出样例
输入样例#1：
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
输出样例#1：
6
输入样例#2：
7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
输出样例#2：
16
说明
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为
6 5 6
7 5 6
，其分值为|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8
9 8 8
5 8 10
【数据说明】
对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；
对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，
1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

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思路：

对于50%的数据，太小了直接DFS强行求解就可以啦，然而优秀的oier显然不屑于这50分，我们要打正解。对于100%的数据1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，DFS显然不能裸跑AC（尤其是在NOIP评测机上），直接DP也不怎么好写，所以正解就是DFS + DP。只要DFS选哪一行 O（2 ^ n），再加一个DP O（n^3）求选了这些行的最小子矩阵的值即可。
用f[i][j]表示选了i列，最后一列为j的最小子矩阵的值，w[i]表示第i列，行与行之间的绝对值和，v[i][j]表示第i列到第j列的列与列之间的绝对值和，然后DP即可。

看代码

# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <math.h>
using namespace std;
# define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
# define N 20
# define RG register
# define IL inline
# define ll long long
# define oo 2147483647
# define max(a, b) ((a) > (b)) ? (a) : (b)
# define min(a, b) ((a) < (b)) ? (a) : (b)
IL int Get(){
    RG char c = '!'; RG int num = 0, z = 1;
    while(c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') z = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') num = num * 10 + c - '0', c = getchar();
    return num * z;
}
int n, m, r, c, a[N][N], w[N], ans = oo, x[N], f[N][N], v[N][N];
IL void DP(){
    mem(v, 0); mem(f, 127); mem(w, 0);
    for(RG int i = 1; i <= m; i++)
        for(RG int j = 1; j < r; j++)
            w[i] += abs(a[x[j]][i] - a[x[j + 1]][i]);
    for(RG int i = 1; i <= m; i++)
        for(RG int j = i + 1; j <= m; j++)
            for(RG int k = 1; k <= r; k++)
                v[i][j] += abs(a[x[k]][i] - a[x[k]][j]);
    f[0][0] = 0;
    for(RG int i = 1; i <= c; i++)
        for(RG int j = i; j <= m; j++)
            for(RG int k = 0; k < j; k++)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + w[j] + v[k][j]);
    for(RG int i = c; i <= m; i++)
        ans = min(ans, f[c][i]);
}
IL void Dfs(RG int t, RG int pre){
    if(t > r){
        DP();
        return;
    }
    for(RG int i = pre + 1; n - i >= r - t; i++){
        x[t] = i;
        Dfs(t + 1, i);
    }
}
int main(){
    n = Get(); m = Get(); r = Get(); c = Get();
    for(RG int i = 1; i <= n; i++)
        for(RG int j = 1; j <= m; j++)
            a[i][j] = Get();
    Dfs(1, 0);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

本蒟蒻还是初学者，如有写的不好请见谅