题面戳我(题面很鬼畜建议阅读一下)

题意:给出n,m,求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\mbox{不是完全平方数}]
\]

多组数据,\(n,m\le10^7\)

sol

SBT

演成这个样子:

\[\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum_{d|T}\mu(\frac Td)[d\mbox{不是完全平方数}]
\]

对于那个\([d\mbox{不是完全平方数}]\),我们先假设这个表达式恒为真,那么后面那一坨就是$$\sum_{d|T}\mu(\frac Td)=\sum_{d|T}\mu(d)=[T==1]$$

然后再把不合法的(完全平方数)在里面减掉。

因为完全平方数只有\(\sqrt{n}\)个所以复杂度完全可以承受

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 10000000;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
int pri[N+5],tot,zhi[N+5],mu[N+5],h[N+5];
void Mobius()
{
zhi[1]=mu[1]=h[1]=1;
for (int i=2;i<=N;i++)
{
if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
{
zhi[i*pri[j]]=1;
if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
else break;
}
}
for (int i=1;i*i<=N;i++)
for (int j=i*i;j<=N;j+=i*i)
h[j]-=mu[j/(i*i)];
for (int i=1;i<=N;i++) h[i]+=h[i-1];
}
int main()
{
Mobius();
int T=gi();
while (T--)
{
int n=gi(),m=gi(),i=1;ll ans=0;
if (n>m) swap(n,m);
while (i<=n)
{
int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(h[j]-h[i-1]);
i=j+1;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

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