Factorials

Factorials 阶乘

　　　　题目大意：给你一个数n，求出n ! 的最后一个非零位。

　　　　注释：n<=4200

　　　　　　想法：开始的想法是觉得这道题应该比较的有趣，因为我们知道，一个数的阶乘的最后的非零位后面或者是0，或者n<=4，所以，我们思考，如何才能有效的登出这个非零位。首先，我们发现，这个非零位后面零的个数是和n！中5的个数有关的，所以，我们思考：如果我们使得这个阶乘没有5会怎么样。想着想着，我相信你的头脑里会自然地蹦出一个定理——唯一分解定理。为什么？因为只有在这个定理的辅助下你才可以将5全部提取出来。我们又想到：由于唯一分解定理的存在，每个数都是有一个或几个定下来的素数组成，我们只需要这句话的一个性质：素数。一个数由素数组成，显然，这个素数是不大于本数的，n的数据范围是4200，是完全在我们的接受范围之内，想到这，这道题的大体轮廓就分为这样几个步骤：

　　　　　　1.筛出n之前的所有素数，由于n的数据范围过小，我们可以O ( n ) 的方法去筛。

　　　　　　2.对于每一个素数，我想求出n！中这个元素最多可以被整除多少次，也就是说我们到底有多少数包含多少这个素数。在此，介绍一个定理$f(n,k)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{k^i}\rfloor$其中，f(n,k)，表示n！中k的个数。

　　　　　　3.这么筛，显然不对，4200里面2的个数就够我们受的了，我们想得到一种优化，我们发现，我们其实只需要得到这个素数的最后一位即可。

　　　　　　4.但，还是有些困难，我们又发现了，对于每一个素数来讲（假设这个素数是a）$a^{4*k+i}=a^i$，我们只需处理%4意义下的即可。但是，a==2是需要特判。

　　　　　　呼~长出一口气，这题就切了。

　　　　最后，附上丑陋的代码......

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 int x[];
 int ans[];
 int num(int a,int b)//计算素数在n!中的个数，这个函数表示b在a!中的个数
 {
     int ans=;
     while(a)
     {
         ans+=a/b;
         a/=b;
     }
     return ans;
 }
 int power(int a,int b)//快速幂，其实可以直接乘，因为我们只考虑模4意义下
 {
     a%=;
     int ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans*a)%;
         b>>=;
         a=(a*a)%;
     }
     return ans;
 }
 bool prime(int a)//判断是否为素数
 {
     int k=(int)(sqrt(a));
     bool flag=true;
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         if(a%i==)
         {
             flag=false;
             break;
         }
     }
     return flag;
 }
 int main()
 {
     int n;
     int cnt=;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)//筛素数
     {
         if(prime(i)) x[++cnt]=i;
     }
     for(int i=;i<=cnt;i++)//用ans[]存素数个数
     {
         ans[x[i]]+=num(n,x[i]);
     }
     ans[]-=ans[];//我们再次用等数量的2将5替换掉，以便将最后的零去掉。
     ans[]=;
     int ansans=;
     for(int i=;i<=cnt;i++)//对于每一个素数来讲，我们进行计算
     {
         ans[x[i]]%=;
         if(ans[x[i]]==&&x[i]==)//特判2，因为别的素数的4次方的最后一位都是1(5已经除去)，但2不是
         {
             ansans*=;
             ansans%=;
         }
         ansans*=power(x[i],ans[x[i]]);
         ansans%=;//我们只要最后一位
     }
     printf("%d\n",ansans);
     return ;
 }

　　　　小结：错误：

　　　　　　2A，第一次忘记特判2。