BZOJ_3944_Sum_杜教筛

BZOJ_3944_Sum_杜教筛

Description

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

Sample Input

6
1
2
8
13
30
2333

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

---

学习下杜教筛，推一波式子。

首先有反演式子$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)=\frac{n*(n+1)}{2}$

约数$j$出现了$n/j$次，故约数$j$将会在$i=n/j$时停止枚举。

相当于第$i$次枚举$1$到$n/i$中的数即可。

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor n/i\rfloor}
\varphi(j)=\frac{n*(n+1)}{2}$

$\sum\limits_{i=1}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

$sum[n]+\sum\limits_{i=2}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

然后记忆化搜索，每次可以分块求，总时间复杂度$O(n^{\frac{3}{4}})$。

根据均值不等式，预处理出$n^{\frac{2}{3}}$内的答案再用上面的式子能够最优。

总时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}}logn)，log$是$map$带来的。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[3000050],cnt,phi[3000050],miu[3000050],summiu[3000050];
ll sumphi[3000050];
bool vis[3000050];
map<ll,pair<ll,ll> >f;
map<ll,pair<ll,ll> >::iterator it;
void init() {
	int i,j;
	vis[1]=phi[1]=sumphi[1]=miu[1]=summiu[1]=1;
	for(i=2;i<=3000000;i++) {
		if(!vis[i]) {
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
			miu[i]=-1;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=3000000;j++) {
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) {
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				miu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			miu[i*prime[j]]=-miu[i];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
		sumphi[i]=sumphi[i-1]+phi[i];
		summiu[i]=summiu[i-1]+miu[i];
	}
}
void query(ll n,ll &ans1,ll &ans2) {
	if(n<=3000000) {
		ans1=sumphi[n]; ans2=summiu[n];
		return ;
	}
	it=f.find(n);
	if(it!=f.end()) {
		ans1=it->second.first; ans2=it->second.second;
		return ;
	}
	ll i,lst;
	ll tmp1,tmp2;
	ans1=n*(n+1)/2; ans2=1;
	for(i=2;i<=n;i=lst+1) {
		lst=n/(n/i); query(n/i,tmp1,tmp2);
		ans1-=(lst-i+1)*tmp1; ans2-=(lst-i+1)*tmp2;
	}
	f[n]=make_pair(ans1,ans2);
}
int main() {
	init();
	int T;
	ll n,ans1,ans2;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%lld",&n);
		query(n,ans1,ans2);
		printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
	}
}