[HDU 3507]Print Article
Description
One day Zero want to print an article which has
N words, and each word i has a cost Ci to be printed. Also, Zero know
that print k words in one line will cost
M is a const number.
Now Zero want to know the minimum cost in order to arrange the article perfectly.
Input
Output
Sample Input
Sample Output
题目大意
将一个序列分为若干段,每段代价为该段和平方+常数M,求代价和最小。
题解
斜率优化$DP$。
考虑朴素的做法,我们令$f[i]$表示前$i$位的最小代价和。
显然我们有转移方程:
f[i]=f[j]+sqr(sum[i]-sum[j])+m; //j>0&&j<i,sum[i]=∑a[i]
显然这是一个$O(n^2)$的做法,对于$500000$的数据肯定过不去。
可以发现,我们枚举每个$i$时会不断重复遍历相同的元素,显然冗余的遍历是可以略去的。
用数据结构优化,为了找到最值,我们容易想到单调队列。
由刚才那个式子,我们拆开:
f[i]=f[j]+sqr(sum[i]-sum[j])+m
<=>f[i]=f[j]+sqr(sum[i])+sqr(sum[j])-*sum[i]*sum[j]+m
<=>f[i]= f[j]+sqr(sum[j])+m +sqr(sum[i])-*sum[i]*sum[j] (*)
我们发现$(*)$式的右边的前面一个部分是与$i$无关的,可是后面一个部分,即
-*sum[i]*sum[j]
中的$i$,$j$杂糅在了一起,显然普通的单调队列行不通了。
我们令$k<j<i$,假设计算$f[i]$时,$j$处的值比$k$处优,显然我们会有:
f[j]+sqr(sum[i]-sum[j])+M <= f[k]+sqr(sum[i]-sum[k])+M;
拆开,化简:
((f[j]+sum[j]*sum[j])-(f[k]+sum[k]*sum[k])) / (sum[j]-sum[k]) <=sum[i]
这时,我们发现,式子只有右边与$i$有关了,我们可以考虑拿左边的部分放到队列里面。
我们不妨令
yj=(f[j]+sum[j]*sum[j]),yk=(f[k]+sum[k]*sum[k]),xj=*sum[j],xk=*sum[k]
Δy=yj-yk,Δx=xj-xk
那么就变成了斜率表达式:
Δy/Δx <= sum[i];
而且不等式右边是递增的。
所以我们可以看出以下两点:我们令
g[k,j]=Δy/Δx
第一:如果上面的不等式成立,那就说$j$比$k$优,而且随着$i$的增大上述不等式一定是成立的,也就是对$i$以后算$DP$值时,j都比k优。那么$k$就是可以淘汰的。
第二:如果,$k<j<i$,而且$g[k,j]>g[j,i]$那么$j$是可以淘汰的。
假设:$g[j,i]<sum[i]$就是$i$比$j$优,那么$j$没有存在的价值
相反如果:$g[j,i]>sum[i]$,那么同样有,$g[k,j]>sum[i]$ ,那么$k$比$j$优那么$j$是可以淘汰的,所以这样相当于在维护一个下凸的图形,斜率在逐渐增大。
通过一个单调队列来维护下凸壳。
#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define RE register
#define IL inline
#define sqr(x) (x*x)
#define deltax(j,k) (2*(sum[j]-sum[k]))
#define deltay(j,k) ((f[j]+sqr(sum[j]))-(f[k]+sqr(sum[k])))
using namespace std;
const int N=; IL int Read(); int n,m;
int sum[N+];
int q[N+],head,tail;
int f[N+]; int main()
{
while (~scanf("%d%d",&n,&m))
{
for (RE int i=;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-]+Read(),f[i]=;
head=tail=;
q[tail++]=;
for (RE int i=;i<=n;i++)
{
while (head<tail-)
if (deltay(q[head+],q[head])<=sum[i]*deltax(q[head+],q[head])) head++;
else break;
int x=sum[i]-sum[q[head]];
f[i]=f[q[head]]+sqr(x)+m;
while (head<tail-)
if (deltay(q[tail-],q[tail-])*deltax(i,q[tail-])>=deltax(q[tail-],q[tail-])*deltay(i,q[tail-])) tail--;
else break;
q[tail++]=i;
}
printf("%d\n",f[n]);
}
return ;
} IL int Read()
{
int sum=;
char c=getchar();
while (c<''||c>'') c=getchar();
while (c>=''&&c<='') sum=sum*+c-'',c=getchar();
return sum;
}
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