第2章数字之魅——寻找最大的K个数

寻找最大的K个数

问题描述

在面试中，有下面的问答：

问：有很多个无序的数，我们姑且假定它们各不相等，怎么选出其中最大的若干个数呢？

答：可以这样写：int array[100] ……

问：好，如果有更多的元素呢？

答：那可以改为：int array[1000] ……

问：如果我们有很多元素，例如1亿个浮点数，怎么办？

答：个，十，百，千，万……那可以写：float array [100 000 000] ……

问：这样的程序能编译运行么？

答：嗯……我从来没写过这么多的0 ……

分析与解法

【解法一】

　　当学生们信笔写下float array [10000000]，他们往往没有想到这个数据结构要如何在电脑上实现，是从当前程序的栈（Stack）中分配，还是堆（Heap），还是电脑的内存也许放不下这么大的东西？

　　我们先假设元素的数量不大，例如在几千个左右，在这种情况下，那我们就排序一下吧。在这里，快速排序或堆排序都是不错的选择，他们的平均时间复杂度都是O（N * log₂N）。然后取出前K个，O（K）。总时间复杂度O（N * log₂N）+ O（K） = O（N * log₂N）。

　　你一定注意到了，当K=1时，上面的算法也是O（N * log2N）的复杂度，而显然我们可以通过N-1次的比较和交换得到结果。上面的算法把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有序，也不需要后N-K个数有序。

　　怎么能够避免做后N-K个数的排序呢？我们需要部分排序的算法，选择排序和交换排序都是不错的选择。把N个数中的前K大个数排序出来，复杂度是O（N * K）。

　　那一个更好呢？O（N * log₂N）还是O（N * K）？这取决于K的大小，这是你需要在面试者那里弄清楚的问题。在K（K < = log₂N）较小的情况下，可以选择部分排序。

算法如下：

 package chapter2shuzizhimei.findMaxK;
 /**
  * 寻找最大的K个数
  * 【解法一】快速排序
  * @author DELL
  *
  */
 public class FindMaxK1 {
     //快速排序的一次划分
     public static int partition(float a[], int first, int last){
         float temp;
         int i,j;
         temp = a[first];
         i = first;
         j = last;
         while(i<j){
             while(i<j&&a[j]<=temp){
                 j--;
             }
             if(i<j) a[i++] = a[j];
             while(i<j&&a[i]>=temp){
                 i++;
             }
             if(i<j) a[j--] = a[i];
         }
         a[i] = temp;
         return i;
     }
     //快速排序
     public static void quickSort(float a[], int first, int last){
         if(first>=last)
             return;
         int i = partition(a, first, last);
         quickSort(a, first, i-1);
         quickSort(a, i+1, last);
 
     }
     //输出最大的K个数
     public static void maxK(float a[], int k){
         if(k>a.length){
             System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！");
             return;
         }
         quickSort(a,0,a.length-1);
         System.out.print("最大的"+k+"个数为：");
         for(int i=0;i<k;i++){
             System.out.print(a[i]+" ");
         }
         System.out.println();
     }
     public static void main(String[] args) {
         float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3};
         maxK(a,3);
     }
 
 }

程序运行结果如下：

最大的3个数为：9.0 7.0 6.0

 package chapter2shuzizhimei.findMaxK;
 /**
  * 寻找最大的K个数
  * 【解法一】冒泡法（不全排序）
  * @author DELL
  *
  */
 public class FindMaxK2 {
 
     //输出最大的K个数
     public static void maxK(float a[], int k){
         if(k>a.length){
             System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！");
             return;
         }
         int i,j;
         float temp;
         System.out.print("最大的"+k+"个数为：");
         //采用冒泡排序的思想
         for(i=0;i<k;i++){
             for(j=1;j<a.length-i;j++){
                 if(a[j]<a[j-1]){
                     temp = a[j-1];
                     a[j-1] = a[j];
                     a[j] = temp;
                 }
             }
             System.out.print(a[a.length-i-1]+" ");
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3};
         maxK(a,3);
     }
 
 }

程序运行结果如下：

最大的3个数为：9.0 7.0 6.0

　　在下一个解法中，我们会通过避免对前K个数排序来得到更好的性能。

【解法二】

　　回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将待排数据分做两组，其中一组的数据的任何一个数都比另一组中的任何一个大，然后再对两组分别做类似的操作，然后继续下去……

　　在本问题中，假设N个数存储在数组S中，我们从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。

　　这时，有两种可能性：

　　1. Sa中元素的个数小于K，Sa中所有的数和Sb中最大的K-|Sa|个元素（|Sa|指Sa中元素的个数）就是数组S中最大的K个数。

　　2. Sa中元素的个数大于或等于K，则需要返回Sa中最大的K个元素。

　　这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度O（N * log₂K）。代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.findMaxK;
 /**
  * 寻找最大的K个数
  * 【解法二】递归划分
  * @author DELL
  *
  */
 public class FindMaxK3 {
     //快速排序的一次划分
     public static int partition(float a[], int first, int last){
         float temp;
         int i,j;
         temp = a[first];
         i = first;
         j = last;
         while(i<j){
             while(i<j&&a[j]<=temp){
                 j--;
             }
             if(i<j) a[i++] = a[j];
             while(i<j&&a[i]>=temp){
                 i++;
             }
             if(i<j) a[j--] = a[i];
         }
         a[i] = temp;
         return i;
     }
 
     //输出最大的K个数
     public static void maxK(float a[], int first, int last, int k){
         if(k>a.length){
             System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！");
             return;
         }
         if(k<=0)
             return;
         int i = partition(a,first,last);
         if(i-first+1==k){
             for(int j=first;j<first+k;j++){
                 System.out.print(a[j]+" ");
             }
         }
         if(i-first+1>k)
             maxK(a,first,i,k);
         if(i-first+1<k){
             for(int j=first;j<i+1;j++){
                 System.out.print(a[j]+" ");
             }
             maxK(a,i+1,last,k-(i-first+1));
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3};
         int k = 5;
         System.out.print("最大的"+k+"个数为：");
         maxK(a,0,a.length-1,k);
         System.out.println();
     }
 
 }

程序运行结果如下：

最大的5个数为：9.0 7.0 6.0 5.0 5.0

【解法三】

　　寻找N个数中最大的K个数，本质上就是寻找最大的K个数中最小的那个，也就是第K大的数。可以使用二分搜索的策略来寻找N个数中的第K大的数。对于一个给定的数p，可以在O（N）的时间复杂度内找出所有不小于p的数。假如N个数中最大的数为Vmax，最小的数为Vmin，那么这N个数中的第K大数一定在区间[Vmin, Vmax]之间。那么，可以在这个区间内二分搜索N个数中的第K大数p。伪代码如下：

 while(Vmax - Vmin > delta)
 {
     Vmid = Vmin + (Vmax - Vmin) * 0.5;
     if(f(arr, N, Vmid) >= K)
         Vmin = Vmid;
     else
         Vmax = Vmid;
     }

　　伪代码中f（arr, N, Vmid）返回数组arr[0, …, N-1]中大于等于Vmid的数的个数。

　　上述伪代码中，delta的取值要比所有N个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta可以取值0.5。循环运行之后，得到一个区间（Vmin, Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）。这个元素就是第K大的元素。整个算法的时间复杂度为O（N * log₂（|Vmax - Vmin| /delta））。由于delta的取值要比所有N个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小，因此时间复杂度跟数据分布相关。在数据分布平均的情况下，时间复杂度为O（N * log₂（N））。

完整代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.findMaxK;
 /**
  * 寻找最大的K个数
  * 【解法三】寻找最大的K个数中最小的那个
  * 二分搜索策略
  * @author DELL
  *
  */
 public class FindMaxK4 {
     /**
      * 计算数组a中大于等于Vmid的数的个数
      * @param a
      * @param Vmid
      * @return
      */
     public static int f(int a[], double Vmid){
         int count=0;
         for(int i=0;i<a.length;i++){
             if(a[i]>=Vmid)
                 count++;
         }
         return count;
     }
 
     //输出最大的K个数
     public static void maxK(int a[], int k){
         if(k>a.length){
             System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！");
             return;
         }
         double Vmax,Vmin;
         double Vmid;
         Vmax = a[0];
         Vmin = a[0];
         //寻找数组中最大和最小的元素
         for(int i=1;i<a.length;i++){
             if(a[i]>Vmax)
                 Vmax = a[i];
             if(a[i]<Vmin)
                 Vmin = a[i];
         }
         while(Vmax-Vmin>0.5){
             Vmid =Vmin + (Vmax - Vmin)*0.5;
             if(f(a,Vmid)>=k)
                 Vmin = Vmid;
             else
                 Vmax = Vmid;
         }
         System.out.print("最大的"+k+"个数为：");
         for(int i=0;i<a.length;i++){
             if(a[i]>=Vmin)
                 System.out.print(a[i]+" ");
         }
         System.out.println();
     }
     public static void main(String[] args) {
         int a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3};
         int k = 3;
         maxK(a, k);
     }
 
 }

程序运行结果如下：

最大的3个数为：9 6 7

　　在整数的情况下，可以从另一个角度来看这个算法。假设所有整数的大小都在[0, 2m-1]之间，也就是说所有整数在二进制中都可以用m bit来表示（从低位到高位,分别用0, 1, …, m-1标记）。我们可以先考察在二进制位的第（m-1）位，将N个整数按该位为1或者0分成两个部分。也就是将整数分成取值为[0, 2m-1-1]和[2m-1, 2m-1]两个区间。前一个区间中的整数第（m-1）位为0，后一个区间中的整数第（m-1）位为1。如果该位为1的整数个数A大于等于K，那么，在所有该位为1的整数中继续寻找最大的K个。否则，在该位为0的整数中寻找最大的K-A个。接着考虑二进制位第（m-2）位，以此类推。思路跟上面的浮点数的情况本质上一样。

　　对于上面两个方法，我们都需要遍历一遍整个集合，统计在该集合中大于等于某一个数的整数有多少个。不需要做随机访问操作，如果全部数据不能载入内存，可以每次都遍历一遍文件。经过统计，更新解所在的区间之后，再遍历一次文件，把在新的区间中的元素存入新的文件。下一次操作的时候，不再需要遍历全部的元素。每次需要两次文件遍历，最坏情况下，总共需要遍历文件的次数为2 * log₂（|Vmax - Vmin|/delta）。由于每次更新解所在区间之后，元素数目会减少。当所有元素能够全部载入内存之后，就可以不再通过读写文件的方式来操作了。

　　此外，寻找N个数中的第K大数，是一个经典问题。理论上，这个问题存在线性算法。不过这个线性算法的常数项比较大，在实际应用中效果有时并不好。

【解法四】

　　我们已经得到了三个解法，不过这三个解法有个共同的地方，就是需要对数据访问多次，那么就有下一个问题，如果N很大呢，100亿？（更多的情况下，是面试者问你这个问题）。这个时候数据不能全部装入内存（不过也很难说，说知道以后会不会1T内存比1斤白菜还便宜），所以要求尽可能少的遍历所有数据。

不妨设N > K，前K个数中的最大K个数是一个退化的情况，所有K个数就是最大的K个数。如果考虑第K+1个数X呢？如果X比最大的K个数中的最小的数Y小，那么最大的K个数还是保持不变。如果X比Y大，那么最大的K个数应该去掉Y，而包含X。如果用一个数组来存储最大的K个数，每新加入一个数X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数Y。用X替代Y，或者保持原数组不变。这样的方法，所耗费的时间为O（N * K）。

　　进一步，可以用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中最小的一个。每次新考虑一个数X，如果X比堆顶的元素Y小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的K个数小。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶的元素Y。在X替换堆顶元素Y之后，X可能破坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性质。更新过程花费的时间复杂度为O（log₂K）。

图2-1是一个堆，用一个数组h[]表示。每个元素h[i]，它的父亲结点是h[i/2]，儿子结点是h[2 * i + 1]和h[2 * i + 2]。每新考虑一个数X，需要进行的更新操作伪代码如下:

 if(X > h[0])
 {
     h[0] = X;
     p = 0;
     while(p < K)
     {
         q = 2 * p + 1;
         if(q >= K)
             break;
         if((q < K - 1) && (h[q + 1] < h[q]))
             q = q + 1;
         if(h[q] < h[p])
         {
             t = h[p];
             h[p] = h[q];
             h[q] = t;
             p = q;
         }
         else
             break;
     }
 }

　　因此，算法只需要扫描所有的数据一次，时间复杂度为O（N * log₂K）。这实际上是部分执行了堆排序的算法。在空间方面，由于这个算法只扫描所有的数据一次，因此我们只需要存储一个容量为K的堆。大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果K仍然很大，我们可以尝试先找最大的K'个元素，然后找第K'+1个到第2 * K'个元素，如此类推（其中容量K'的堆可以完全载入内存）。不过这样，我们需要扫描所有数据ceil （K/K'）次。

完整代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.findMaxK;
 /**
  * 寻找最大的K个数
  * 【解法四】
  * 采用堆遍历一遍数组
  * @author DELL
  *
  */
 public class FindMaxK5 {
 
     //输出最大的K个数
     public static void maxK(float a[], int k){
         if(k>a.length){
             System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！");
             return;
         }
         float b[] = new float[k];
         float temp;
         //建小根堆
         b[0] = a[0];
         for(int i=1;i<k;i++){
             int j = i-1;
             if(a[i]>=b[j/2]){
                 b[j+1]=a[i];
             }else{
                 int p = j/2;
                 int q = p/2;
                 b[j+1]=b[p];
                 b[p] = a[i];
                 while(p!=0&&b[p]<b[q]){
                     temp = b[q];
                     b[q] = b[p];
                     b[p] = temp;
                     p = q;
                     q = p/2;
                 }
             }
         }
         for(int i=k;i<a.length;i++){
             if(a[i]>b[0]){
                 b[0]=a[i];
                 //调整堆
                 int p = 0;
                 while(p<k){
                     int q = 2*p+1;
                     if(q>=k)
                         break;
                     if(q<k-1&&b[q+1]<b[q])
                         q = q+1;
                     if(b[p]>b[q]){
                         temp = b[p];
                         b[p] = b[q];
                         b[q] = temp;
                         p=q;
                     }else{
                         break;
                     }
                 }
             }
         }
         System.out.print("最大的"+k+"个数为：");
         for(int i=0;i<k;i++){
             System.out.print(b[i]+" ");
         }
         System.out.println();
     }
     public static void main(String[] args) {
         float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3};
         int k = 5;
         maxK(a, k);
     }
 
 }

程序运行结果如下：

最大的5个数为：5.0 6.0 5.0 9.0 7.0

【解法五】

　　上面类快速排序的方法平均时间复杂度是线性的。能否有确定的线性算法呢？是否可以通过改进计数排序、基数排序等来得到一个更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的适用范围会受到一定的限制。

　　如果所有N个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个。比如，所有整数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组count[MAXN]来记录每个整数出现的个数（count[i]表示整数i在所有整数中出现的个数）。我们只需要扫描一遍就可以得到count数组。然后，寻找第K大的元素：

代码清单2-14

 for(sumCount = 0, v = MAXN - 1; v >= 0; v--)
 {
     sumCount += count[v];
     if(sumCount >= K)
         break;
 }
 return v;

　　极端情况下，如果N个整数各不相同，我们甚至只需要一个bit来存储这个整数是否存在。

　　当实际情况下，并不一定能保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。上面的方法仍然可以推广适用。如果N个数中最大的数为Vmax，最小的数为Vmin，我们可以把这个区间[Vmin, Vmax]分成M块，每个小区间的跨度为d =（Vmax - Vmin）/M，即 [Vmin, Vmin+d], [Vmin + d, Vmin + 2d],……然后，扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数，跟上面方法类似地，我们可以知道第K大的元素在哪一个小区间。然后，再对那个小区间，继续进行分块处理。这个方法介于解法三和类计数排序方法之间，不能保证线性。跟解法三类似地，时间复杂度为O（（N+M）* log₂M（|Vmax - Vmin|/delta））。遍历文件的次数为2 * log₂M（|Vmax - Vmin|/delta）。当然，我们需要找一个尽量大的M，但M取值要受内存限制。

　　在这道题中，我们根据K和N的相对大小，设计了不同的算法。在实际面试中，如果一个面试者能针对一个问题，说出多种不同的方法，并且分析它们各自适用的情况，那一定会给人留下深刻印象。

　　注：本题目的解答中用到了多种排序算法，这些算法在大部分的算法书籍中都有讲解。掌握排序算法对工作也会很有帮助。