sparse coding稀疏表达入门

最近在看sparse and redundant representations这本书，进度比较慢，不过力争看过的都懂，不把时间浪费掉。才看完了不到3页吧，书上基本给出了稀疏表达的概念以及传统的求法。我也用书中的例子来引入吧。

1：矩阵A(n*m)，其中n远远小于m，一副图片经过缩小或者模糊处理导致该图片所占用的空间变小了，此时用向量b来表示，A表示图片所经过的处理，X代表原图片，那么这个就可以表示成为：

Ax=b

2：因为A是欠定的，一般情况下x的解有很多种，而我们要的是那种最稀疏的x。个人理解这个就是稀疏表达吧。

3：接下来文章引入了如何求x的方法，假定j(x)是求x最稀疏的函数，并且前提条件是Ax=b。用数学表达也就是

Min j(x) s.t. Ax=b

4：为了求出这个j(x)，一般情况下这个j(x)对应的是x的范数||x||右下角2的平方最小值，为了求出||x||右下角2的平方最小值，我们引入了拉格朗日乘数。关于拉格朗日乘数，我在下面补充，省的再去找资料看了。

拉格朗日乘数：它是专门为某变量在其他约束条件下求极值的问题解决方案，当m个变量在K个约束条件下求极值的话，它把变成k+m个数来求变量的极值，给约束条件加一个乘子即可。也就是我们上面的列出来的。

为了求出x的最小值，对x求偏导（当导数为0的地方时极值点）最终得到结果如下：

那么X的最优化的解就是（是让上式为0得到的）：

把该值代入最初的Ax=b中可以求得拉姆达的值，然后就得到X最优化的解为：

补充：个人对稀疏表达的理解是，如果输入为一个很复杂的A，为了得到稀疏的表达b，那么经过一系列的操作x得到b，我觉得目的是为了得到稀疏表达的b，但是书中给出的例子是这样，也可能我对信号处理这些地方从没有过接触，导致的不太理解。。目前看了3页书，实在觉得太难看下去了，看到一个点都要去复习几天的书，才能够连贯起来。。