[物理学与PDEs]第2章习题9 粘性流体动能的衰减

设 $\Omega\subset {\bf R}^3$ 为有界域, ${\bf u}$ 为 Navier-Stokes 方程组 (3. 4)-(3. 5) 满足边界条件 (3. 7) 的解, 其中体积力 ${\bf F}={\bf 0}$. 证明流体的动能随时间的增加而减少, 即 $$\bex \cfrac{\rd }{\rd t}\int_\Omega \cfrac{1}{2}|{\bf u}|^2\rd x\leq 0. \eex$$

证明: Navier-Stokes 方程组的两边同时乘以 ${\bf u}$ 后于 $\Omega$ 上积分, 得 $$\bex \cfrac{\rd }{\rd t}\int_\Omega \cfrac{1}{2}|{\bf u}|^2\rd x +\mu\int_\Omega |\n {\bf u}|^2\rd x=0. \eex$$