[BZ4923][Lydsy1706月赛]K小值查询

K小值查询

题面

维护一个长度为n的正整数序列a_1,a_2,...,a_n，支持以下两种操作：

1 k，将序列a从小到大排序，输出a_k的值。

2 k，将所有严格大于k的数a_i减去k。

Input

第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=100000)，分别表示序列的长度和操作的个数。

第二行包含n个正整数a_1,a_2,...,a_n(1<=a_i<=10^9)，分别表示序列中的每个元素。

接下来m行，每行两个正整数op(1<=op<=2),k，若op=1，则1<=k<=n；若op=2，则1<=k<=10^9；依次描述每个操作。

Output

输出若干行，对于每个询问输出一行一个整数，即第k小的值。

Sample Input

4 5

1 5 6 12

2 5

1 1

1 2

1 3

1 4

Sample Output

1

1

5

7

思路

乍一看是一道平衡树上的区间修改。然而发现操作1是排名操作。显然，区间修改的splay是以编号作为关键字维护的，无法排名。那我们就思考如何用权值关键字的splay解决问题。

我们能发现：所有严格大于k的节点减去k之后相对大小都不会改变。而一颗子平衡树是按照内部元素大小关系排序的。所以我们推出：对于所有节点权值都严格大于k的子树，全部减k后树的形状不会改变。

我们可以先把所有点根据这个特性分成三个区间：\((-inf,k],(k,2k],(2k,+inf)\)。我们容易发现，每次操作后两个区间所有数都会减去k，操作后第二个区间和第一个区间会合并。而第三个区间一部分会成为新的2区间，一部分会留在3区间。

我们考虑修改操作，先把k的后继的前驱（注意，这个点不是k，因为k可能不在树里）转到root，再把2k的后继转到k的右儿子。然后把2k这个节点的左子树从主树上拆下来，则得到代表区间\((k,2k]\)的子树。然后把这些节点拆散，暴力的把每个节点的val减去k，然后再一个一个暴力插入。因为所有数在区间2最多存在一次，所以这一步复杂度为\(O(n \space log\space n)\)。第三个区间则将2k节点，打个tag即可。

查询操作还是常规的查询操作，只是每次递归到一个点后先执行Push_Down操作，即把tag下推。

注意事项

代码实现请注意：

1. 删除任意一个非根节点之后，一定要更新他所有祖先的信息。
2. 在向下遍历到一个新的节点/对子节点进行操作时，尽量随手Push_Down。（反正splay常数已经够大了QAQ）
3. splay之前，请从根节点到splay点路径上的所有点Push_Down。（因为tag在旋转时会乱掉，而与size不同，tag无法在操作后用Push_Up操作从子节点还原父节点的tag

代码

/**************************************************************
    Problem: 4923
    User: GavinZheng
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:9612 ms
    Memory:5236 kb
****************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define inf (ll)(1e18+1000)
#define maxn (int)(1e5+1000)
using namespace std;
int idx,n,m,root,beh;
ll ma[maxn],val[maxn];
int tag[maxn],size[maxn],cnt[maxn],fa[maxn],son[maxn][2];
void push_down(int x){
    if(!x)return;
    if(son[x][0]){
        val[son[x][0]]+=tag[x];
        tag[son[x][0]]+=tag[x];
        ma[son[x][0]]+=tag[x];
    }
    if(son[x][1]){
        val[son[x][1]]+=tag[x];
        tag[son[x][1]]+=tag[x];
        ma[son[x][1]]+=tag[x];
    }
    tag[x]=0;
    return;
}
void Down(int x){
    if(!x)return;
    Down(fa[x]);
    push_down(x);
}
void push_up(int x){
    size[x]=cnt[x];ma[x]=val[x];
    if(son[x][0]){
        size[x]+=size[son[x][0]];
        ma[x]=max(ma[x],ma[son[x][0]]);
    }
    if(son[x][1]){
        size[x]+=size[son[x][1]];
        ma[x]=max(ma[x],ma[son[x][1]]);
    }
    return;
}
void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],o=(son[y][1]==x);
    son[y][o]=son[x][o^1];
    fa[son[x][o^1]]=y;
    son[x][o^1]=y;
    fa[y]=x;
    son[z][son[z][1]==y]=x;
    fa[x]=z;
    push_up(y);
    push_up(x);
    return;
}
void splay(int x,int v=0){//If x's father is v,stop rotating.
    if(!x)return;
    Down(x);
    for(int y;(fa[x]&&fa[x]!=v);rotate(x)){
        y=fa[x];
        if(fa[y]==v)continue;
        rotate((son[fa[y]][0]==y)==(son[fa[x]][0]==x)?y:x);
    }
    if(!v)root=x;
}
void insert(int x,ll a,int cntx=1,int idxx=0){
    int y=0;
    while(x&&a!=val[x]){
        push_down(x);
        y=x;
        x=son[x][a>val[x]];
    }
    if(x){
        cnt[x]+=cntx;splay(x);
    }
    else{
        x=(idxx?idxx:++idx);
        val[x]=a;
        fa[x]=y;
        son[y][a>val[y]]=x;
        cnt[x]=cntx;
            tag[x]=0;
        son[x][0]=son[x][1]=0;
        push_up(x);splay(x);
    }
    return;
}
int kth(int x,int k){
    push_down(x);
    if(size[son[x][0]]>=k) return kth(son[x][0],k);
    if(size[son[x][0]]+cnt[x]>=k) return x;
    else return kth(son[x][1],k-size[son[x][0]]-cnt[x]);
}
void suc(int x,int a){
    while(x){
        push_down(x);
        if(val[x]>a){
            beh=x;
            x=son[x][0];
        }
        else{
            x=son[x][1];
        }
    }
    return;
}
void reinsert(int x,int k){
    if(!x)return;
    push_down(x);
    if(son[x][0])reinsert(son[x][0],k);
    if(son[x][1])reinsert(son[x][1],k);
    insert(root,val[x]-k,cnt[x],x);
    return;
}
void change(int k){
    suc(root,2*k);
    int k2_mark=beh;
    suc(root,k);
    int k_mark=beh;
    splay(k2_mark);
    val[root]-=k;val[son[root][1]]-=k;ma[son[root][1]]-=k;tag[son[root][1]]-=k;
    push_down(son[root][1]);
    push_up(root);
    splay(k_mark);
    splay(kth(root,size[son[k_mark][0]]));//put the previous of k on the root_position
    //if k presense in the tree,put k instead.
    splay(k2_mark,root);
    push_down(root);push_down(son[root][1]);
    int head=son[son[root][1]][0];son[son[root][1]][0]=0;fa[head]=0;
    push_up(son[root][1]);push_up(root);reinsert(head,k);
}
int main(){
    //freopen("in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    insert(root,inf);insert(root,-inf);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a;scanf("%d",&a);insert(root,a);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int type,num;scanf("%d%d",&type,&num);
        if(type==1) printf("%lld\n",val[kth(root,num+1)]);
        else change(num);
    }
}