5.4Python数据处理篇之Sympy系列(四)---微积分

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• 前言
• （一）求导数-diff()
  • 1.一阶求导-diff()
    • （1）说明：
    • （2）源代码：
    • （3）输出：
  • 2.多阶求导-diff()
    • （1）说明：
    • （2）源代码：
    • （3）输出：
  • 3.求偏导数-diff()
    • （1）说明：
    • （2）源代码：
    • （3）输出：
• （二）求积分-integrate()
  • （1）说明：
  • （2）源代码：
  • （3）输出：
• （三）求极限-limit(）
  • （1）说明：
  • （2）源代码：
  • （3）输出：
• （四）级数展开-series(）
  • 1.说明：
  • 2.源代码：
  • 3.输出：
    • 作者：Mark
    • 日期：2019/03/17 周日

前言

今天讲的是，有关sympy的微积分部分的知识。

对应官网的知识：Calculus

官网教程

https://docs.sympy.org/latest/tutorial/calculus.html

（一）求导数-diff()

1.一阶求导-diff()

（1）说明：

语法是：diff(expr,x)

（2）源代码：

from sympy import *

# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = cos(x)

expr2 = exp(x**2)

# 求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr2, x)

print("r1:", r1)
print("r2:", r2)

（3）输出：

\(\cos(x)\) --> \(-\sin(x)\)

\(e^{x^2}\) --> \(2xe^{x^2}\)

2.多阶求导-diff()

（1）说明：

多阶求导同样的使用diff()，其有两种形式

1. 带参数中，添加几个x,就是对x的几次求导。diff(expr, x, x,x……)
2. 用数字来控制所求的阶数：diff(expr, x, n)

（2）源代码：

from sympy import *

# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = x**4

# 第一种形式多阶求导
r1 = diff(expr1, x)
r2 = diff(expr1, x, x)
r3 = diff(expr1, x, x, x)

print("="*30)
print(r1)
print(r2)
print(r3)

# 第二种形式多阶求导
r4 = diff(expr1, x, 1)
r5 = diff(expr1, x, 2)
r6 = diff(expr1, x, 3)

print("="*30)
print(r4)
print(r5)
print(r6)

（3）输出：

\(x^4\) --> \(24x\)

3.求偏导数-diff()

（1）说明：

diff()也可以单独对一个变量求导，这便是偏导数。

（2）源代码：

from sympy import *

# 初始化
x, y, z = symbols('x y z')

# 表达式
expr1 = exp(x*y*z)

# 求导
r1 = diff(expr1, x, y, y, z, z, z, z)
r2 = diff(expr1, x, 1, y, 2, z, 4)

print("r1:", r1)
print("r2:", r2)

print(latex(r1))
print(latex(r2))

（3）输出：

\(e^{xyz}\) --> \(x^{3} y^{2} \left(x^{3} y^{3} z^{3} + 14 x^{2} y^{2} z^{2} + 52 x y z + 48\right) e^{x y z}\)

（二）求积分-integrate()

（1）说明：

求积分有三种形式，并且都用的是integrate（）方法

1. 求不定积分：integrate(expr, var)
2. 求定积分：integrate(expr, (var, min, max))
3. 求多重积分：integrate(expr, (var1, min, max),(var2,min,max))

（2）源代码：

from sympy import *

# 初始化
x, y = symbols('x y')

# 表达式
expr1 = cos(x)
expr2 = exp(-x)
expr3 = exp(-x**2-y**2)

# 求不定积分
r1 = integrate(expr1, x)

# 求定积分
r2 = integrate(expr2, (x, 0, oo))

# 求多重积分
r3 = integrate(expr3, (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

print("r1:", r1)
print("r2:", r2)
print("r3:", r3)

（3）输出：

\(\cos{\left (x \right )}\)-->\(\sin{\left (x \right )}\)

\(\int_{0}^\infty{e^{- x}dx}​\)-->\(1​\)

\(\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{- x^{2} - y^{2}}dxdy\)-->\(\pi\)

（三）求极限-limit(）

（1）说明：

求极限使用limit()，其有下两种使用方法：

1. 趋进某个点的极限：limit(expr, var, doit）
2. 从侧边趋进某个值的极限：limit(expr, var,doit, "+") （左侧趋进同理）

注：sympy里，不可以使用无穷的趋进。

（2）源代码：

from sympy import *

# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = sin(x)/x
expr2 = 1/x

# 求趋于某个值的极限
r1 = limit(expr1, x, 0)

# 正向趋进
r2 = limit(expr2, x, 0, '+')

# 负向趋进
r3 = limit(expr2, x, 0, '-')

print(r1)
print(r2)
print(r3)

（3）输出：

\(\lim_{x \to 0}\sin(x)/x\)-->\(1\)

\(\lim_{x \to 0^+}​\)-->\(\infty​\)

\(\lim_{x \to 0^-}\)-->\(-\infty​\)

（四）级数展开-series(）

1.说明：

级数展开请使用：series(expr, x0, xn）,使用.removeO()去除尾数。

2.源代码：

from sympy import *

# 初始化
x = symbols('x')

# 表达式
expr1 = exp(sin(x))

# 级数展开
r1 = expr1.series(x, 0, 6)

# 去除尾数
r2 = expr1.series(x, 0, 6).removeO()

print(r1)
print(r2)

3.输出：

\(e^{\sin(x)}​\)-->\(1 + x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{5}}{15} + O\left(x^{6}\right)​\)

\(e^{\sin(x)}\)-->\(- \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{2} + x + 1​\)

作者：Mark

日期：2019/03/17 周日