题目

题目大意

给你一堆边,你要将它们围成面积最大的矩形。

边不一定要用完,而且围成的矩形不能凸出一块。

\(n\leq 16\)

\(l_i \leq 15\)


思考历程

看到这题的第一眼,就会立马往DP方面去想。

我一开始的想法是求出每种选择的状态可以得到的长度,

然后就可以得出哪些状态可以得到两条长度一样的边。

接下来就开始匹配,找不相交的集合,如果两个都满足条件就统计入答案。

但是我又想,上面的最后一个操作会不会使时间崩掉?

于是我又想了几十分钟,迫不得已去打第三题和第二题了……

打完后回来,仔细想想,发现可以折半搜索!

把\(n\)条边拆成两组,每一条边有\(5\)种选择,分别为不选和加入\(a,b,c,d\)四条边。

用\(5^8\)的时间枚举左边,然后钦定\(a\leq c\)且\(b\leq d\)(如果不满足条件就踢掉,不用交换,因为交换后的情况是能够枚举到的)。我们以\((c-a,d-b)\)作为关键字存在某个表中(用hash或map或数组,怎样都可以)。

之所以存下它们的差,是因为在差相同的情况下,可以互补成完整的矩形。

对于每个出现过的关键字,都给它分配一个数组,存下\((a,b)\)

然后就是枚举右边的情况,搞完之后以同样的方式在表中找,如果关键字出现过,就在分配给它的数组中枚举,将\((a_i+c')(b_i+d')\)统计入答案中。

显然,最花时间的地方就是在数组中枚举,如果这个数组开得很大,有可能会拖慢速度。

我试了一个\(16\)个\(8\)的数据,就成功卡掉了。

于是我便想到,数组中的重复元素其实是很多的。所以我将vector换成了set,那个数据就跑得贼快了。

去掉了重复,我也不知道数据还有什么办法卡我,因为每个数组都不会特别大(根据数据范围感性地估计一下~)

于是我就交了上去。果然AC,而且还跑得比较快。

后来我又思考,万一数据真的卡我,该怎么办。于是我想到,同一个数组中若有\(a_i\leq a_j\)且\(b_i \leq b_j\),显然\((a_i,b_i)\)是可以不要的。那么在左边的枚举做完之后,我们将每个数组里的元素排序一遍,把其中这些没有意义的元素删去。于是我们就可以得到一个\(a_i\)递增,\(b_i\)递减的一个东西。显然我们要让\(a_id'+b_ic'\)最大,就可以在数组上二分(或三分?)来做。反正时间复杂度是绝对可以保证的。


正解

其实这道题的方法有很多很多……折半搜索只是冰山一角。

事实上我一开始想的、但却没有打的方法是对的。

有的人直接搜索就过了,有的人背包、状压……

所以就不一一说明了……

于是“正解”这一栏有什么意义?


代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
int n,m;
int len[17];
#define mo 1000007
struct Node{
int key,num;
} h[mo];
inline int my_hash(int ia1,int ia2){
int key=ia1*997+ia2+mo,i=key%mo;
for (;h[i].key!=key && h[i].key;i=(i+1==mo?0:i+1));
return i;
}
int cnt;
set<pair<int,int> > arr[15000];
void dfs1(int k,int a,int b,int c,int d){
if (k>m){
if (a>b || c>d)
return;
int w=my_hash(b-a,d-c);
if (!h[w].num)
h[w].num=++cnt;
arr[h[w].num].insert(make_pair(a,c));
return;
}
dfs1(k+1,a,b,c,d);
dfs1(k+1,a+len[k],b,c,d);
dfs1(k+1,a,b+len[k],c,d);
dfs1(k+1,a,b,c+len[k],d);
dfs1(k+1,a,b,c,d+len[k]);
}
int ans=0;
void dfs2(int k,int a,int b,int c,int d){
if (k>n){
if (a>b || c>d)
return;
int w=my_hash(b-a,d-c);
if (h[w].num){
for (set<pair<int,int> >::iterator p=arr[h[w].num].begin();p!=arr[h[w].num].end();++p)
ans=max(ans,(b+p->first)*(d+p->second));
}
return;
}
dfs2(k+1,a,b,c,d);
dfs2(k+1,a+len[k],b,c,d);
dfs2(k+1,a,b+len[k],c,d);
dfs2(k+1,a,b,c+len[k],d);
dfs2(k+1,a,b,c,d+len[k]);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&len[i]);
m=n>>1;
dfs1(1,0,0,0,0);
dfs2(m+1,0,0,0,0);
if (ans)
printf("%d\n",ans);
else
printf("No Solution\n");
return 0;
}

总结

做题的时候不要怂,有时暴力的方法照样能过!

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