题解【[HNOI2010]弹飞绵羊】

\[\texttt{Description}
\]

有 \(n\) 个弹力装置排成一排，第 \(i\) 个弹力装置的弹力系数是 \(k_i\) ，绵羊到第 \(i\) 个装置时，会被弹到第 \(i+k_i\) 个弹力装置，若第 \(i+k_i\) 个装置不存在，则绵羊被弹飞。

你要维护这 \(n\) 个弹力装置，支持 \(2\) 种操作：

• 1 x 询问绵羊初始在第 \(x\) 个弹力装置时，被弹几次后被弹飞。
• 2 x y 将 \(k_x\) 改成 \(y\) 。

\[\texttt{Solution}
\]

• 我们把弹力装置抽象成一个点，弹力装置的这种位移操作抽象成一条边，即有 \(n\) 个点，第 \(i\) 个点向第 \(i+k_i\) 个点连一条边， 考虑到绵羊被弹飞的情况，我们新建一个虚拟节点 \(n+1\) ，若绵羊被第 \(i\) 个弹力装置弹飞（即 \(i+k_i>n\)），我们就使第 \(i\) 个点向第 \(n+1\) 点连一条边。

• 考虑到每个节点都向后连边，我们建出来的图定是一个森林。

• 对于查询操作，就是问第 \(x\) 个节点与第 \(n+1\) 个节点之间有几条边。

• 对于修改操作，就是删去 \(x\) 原来向后连的边，再使得 \(x\) 向后新连一条边。

• 发现需要动态维护森林，于是我们就可以用动态维护森林的利器：\(\mathsf{LCT}\) 。

• 对于查询操作，我们依次调用 Make_root(x)，access(n + 1)，splay(n + 1)，就把 \(x\) 到 \(n+1\) 的路径分出来了，若在辅助树上维护个 \(size_i\)（子树大小），此时答案即为 \(size_{n+1}-1\) （边数 \(=\) 点数 \(-\) \(1\)）。

• 对于修改操作，我们调用 Cut(x, x + k[x] > n ? n + 1 : x + k[x]) ，表示把 \(x\) 原来连出去的边删掉，再调用 k[x] = y 修改 \(k_x\) 的值，再调用 Link(x, x + k[x] > n ? n + 1 : x + k[x])，表示将 \(x\) 新连出去一条边。

\[\texttt{Code}
\]

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RI register int
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char s=getchar();
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=1001000;
int n,m;
int fa[N],ch[N][2],k[N],size[N]; bool rev[N];
int len,que[N];
#define lc(x) ch[x][0]
#define rc(x) ch[x][1]
void upd(int x)
{
	size[x]=size[lc(x)]+size[rc(x)]+1;
}
void spread(int x)
{
	if(rev[x]==true)
	{
		std::swap(lc(x),rc(x));
		rev[lc(x)]^=1;rev[rc(x)]^=1;
		rev[x]=false;
	}
}
int get(int x)
{
	return rc(fa[x])==x;
}
int Is_root(int x)
{
	return lc(fa[x])!=x&&rc(fa[x])!=x;
}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);
	if(!Is_root(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;
	ch[y][chk]=ch[x][chk^1];fa[ch[x][chk^1]]=y;
	ch[x][chk^1]=y,fa[y]=x,fa[x]=z;
	upd(y),upd(x);
}
void splay(int x)
{
	que[len=1]=x;
	for(RI p=x;!Is_root(p);p=fa[p])que[++len]=fa[p];
	for(RI i=len;i>=1;i--)spread(que[i]);
	for(;!Is_root(x);rotate(x))
		if(!Is_root(fa[x]))rotate(get(x)==get(fa[x])?fa[x]:x);
}
void access(int x)
{
	for(RI y=0;x;y=x,x=fa[x])
	{
		splay(x);
		rc(x)=y,fa[y]=x;
		upd(x);
	}
}
int Find_root(int x)
{
	access(x);
	splay(x);
	while(spread(x),lc(x))
		x=lc(x);
	splay(x);
	return x;
}
void Make_root(int x)
{
	access(x);
	splay(x);
	rev[x]^=1;
}
void Link(int x,int y)
{
	if(Find_root(x)==Find_root(y))
		return;
	Make_root(x);
	fa[x]=y;
}
void Cut(int x,int y)
{
	Make_root(x);
	access(y);
	splay(y);
	if(lc(y)!=x||lc(x)||rc(x))
		return;
	lc(y)=fa[x]=0;
	upd(y);
}
int ask(int x,int y)
{
	Make_root(x);
	access(y);
	splay(y);
	return size[y];
}
int main()
{
	n=read();
	for(RI i=1;i<=n;i++)
		k[i]=read();
	for(RI i=1;i<=n;i++)
		Link(i,i+k[i]>n?n+1:i+k[i]);
	m=read();
	while(m--)
	{
		int opt=read(),x=read()+1;
		switch(opt)
		{
			case 1:{
				printf("%d\n",ask(x,n+1)-1);
				break;
			}
			case 2:{
				Cut(x,x+k[x]>n?n+1:x+k[x]);
				k[x]=read();
				Link(x,x+k[x]>n?n+1:x+k[x]);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

\[\texttt{Thanks} \ \texttt{for} \ \texttt{watching}
\]