题解【[HNOI2010]弹飞绵羊】
\]
有 \(n\) 个弹力装置排成一排,第 \(i\) 个弹力装置的弹力系数是 \(k_i\) ,绵羊到第 \(i\) 个装置时,会被弹到第 \(i+k_i\) 个弹力装置,若第 \(i+k_i\) 个装置不存在,则绵羊被弹飞。
你要维护这 \(n\) 个弹力装置,支持 \(2\) 种操作:
1 x
询问绵羊初始在第 \(x\) 个弹力装置时,被弹几次后被弹飞。2 x y
将 \(k_x\) 改成 \(y\) 。
\]
我们把弹力装置抽象成一个点,弹力装置的这种位移操作抽象成一条边,即有 \(n\) 个点,第 \(i\) 个点向第 \(i+k_i\) 个点连一条边, 考虑到绵羊被弹飞的情况,我们新建一个虚拟节点 \(n+1\) ,若绵羊被第 \(i\) 个弹力装置弹飞(即 \(i+k_i>n\)),我们就使第 \(i\) 个点向第 \(n+1\) 点连一条边。
考虑到每个节点都向后连边,我们建出来的图定是一个森林。
对于查询操作,就是问第 \(x\) 个节点与第 \(n+1\) 个节点之间有几条边。
对于修改操作,就是删去 \(x\) 原来向后连的边,再使得 \(x\) 向后新连一条边。
发现需要动态维护森林,于是我们就可以用动态维护森林的利器:\(\mathsf{LCT}\) 。
对于查询操作,我们依次调用
Make_root(x)
,access(n + 1)
,splay(n + 1)
,就把 \(x\) 到 \(n+1\) 的路径分出来了,若在辅助树上维护个 \(size_i\)(子树大小),此时答案即为 \(size_{n+1}-1\) (边数 \(=\) 点数 \(-\) \(1\))。对于修改操作,我们调用
Cut(x, x + k[x] > n ? n + 1 : x + k[x])
,表示把 \(x\) 原来连出去的边删掉,再调用k[x] = y
修改 \(k_x\) 的值,再调用Link(x, x + k[x] > n ? n + 1 : x + k[x])
,表示将 \(x\) 新连出去一条边。
\]
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RI register int
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1001000;
int n,m;
int fa[N],ch[N][2],k[N],size[N]; bool rev[N];
int len,que[N];
#define lc(x) ch[x][0]
#define rc(x) ch[x][1]
void upd(int x)
{
size[x]=size[lc(x)]+size[rc(x)]+1;
}
void spread(int x)
{
if(rev[x]==true)
{
std::swap(lc(x),rc(x));
rev[lc(x)]^=1;rev[rc(x)]^=1;
rev[x]=false;
}
}
int get(int x)
{
return rc(fa[x])==x;
}
int Is_root(int x)
{
return lc(fa[x])!=x&&rc(fa[x])!=x;
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],chk=get(x);
if(!Is_root(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;
ch[y][chk]=ch[x][chk^1];fa[ch[x][chk^1]]=y;
ch[x][chk^1]=y,fa[y]=x,fa[x]=z;
upd(y),upd(x);
}
void splay(int x)
{
que[len=1]=x;
for(RI p=x;!Is_root(p);p=fa[p])que[++len]=fa[p];
for(RI i=len;i>=1;i--)spread(que[i]);
for(;!Is_root(x);rotate(x))
if(!Is_root(fa[x]))rotate(get(x)==get(fa[x])?fa[x]:x);
}
void access(int x)
{
for(RI y=0;x;y=x,x=fa[x])
{
splay(x);
rc(x)=y,fa[y]=x;
upd(x);
}
}
int Find_root(int x)
{
access(x);
splay(x);
while(spread(x),lc(x))
x=lc(x);
splay(x);
return x;
}
void Make_root(int x)
{
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
}
void Link(int x,int y)
{
if(Find_root(x)==Find_root(y))
return;
Make_root(x);
fa[x]=y;
}
void Cut(int x,int y)
{
Make_root(x);
access(y);
splay(y);
if(lc(y)!=x||lc(x)||rc(x))
return;
lc(y)=fa[x]=0;
upd(y);
}
int ask(int x,int y)
{
Make_root(x);
access(y);
splay(y);
return size[y];
}
int main()
{
n=read();
for(RI i=1;i<=n;i++)
k[i]=read();
for(RI i=1;i<=n;i++)
Link(i,i+k[i]>n?n+1:i+k[i]);
m=read();
while(m--)
{
int opt=read(),x=read()+1;
switch(opt)
{
case 1:{
printf("%d\n",ask(x,n+1)-1);
break;
}
case 2:{
Cut(x,x+k[x]>n?n+1:x+k[x]);
k[x]=read();
Link(x,x+k[x]>n?n+1:x+k[x]);
break;
}
}
}
return 0;
}
\]
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