区间操作---树状数组&&线段树
涉及区间操作的一些套路必须要会呀
区间加减为了偷懒能不写线段树so我选择树状数组!!
但是区间乘除,最大值我想了想还是用线段树分块吧。
树状数组:
这里用网上的一张图:
这里灰色数组是原本的数组(a[i])红色数组则是树状数组(c[i])这里直接给出结论:
c[i]=a[i-2^k+range[1,2^k]]
k是i的二进制位从低到高位连续0的个数
与a[i]有关的 c[i+2^(k+j)] 且 i+2^(j+k)<n
这样就很好实现单点更改,区间查询了。
void lowbit(int x)
{
return x&(-x);//求2^x
}
void updata(int x,int val)//在x处加val
{
while(x<=n)
{
c[i]+=val;
x+=lowbit(x);//x在不断变化要不断求lowbit
}
}
int getsum(x)//求a[1~x]的和
{
int ans=;
while(x)
{
ans+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
区间查询怎么搞呢?
这里可以用到差分数组
比如在a=[1,5,7,2,3,7,1]则有的差分数组d=[1,4,2,-5,1,4,-6](a[i]-a[i-1)a[0]=0,sum[d[1~i]]=a[i]
在区间x,y全部加k则可以在d[x]+k,d[y+1]-k 则在求1~i i in range[x,y]这部分区间的和即可得到a[i]+k。这样就变成了单点修改区间查询了
这样实际上a数组是没有用的,’a‘则变成了d数组,对d数组构造树状数组c
这样就实现了区间修改,单点查询:
单点查询模板 https://www.luogu.com.cn/problem/P3368
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+;
int n,m,q,p,w,x,ans,a[N],c[N];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int val)//x点+val值
{
while(x<=n)
{
c[x]+=val;
x+=lowbit(x);//x在不断变化要不断求lowbit
}
}
int getsum(int x)//求'a'[1~x]的和
{
int res=;
while(x)
{
res+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-]);//建立差分数组d
}
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x==)
{
scanf("%d %d %d",&q,&p,&w);//q,p区间+w
update(q,w);
update(p+,-w);
}
else
{
scanf("%d",&q);
ans=getsum(q); //求d的1~q的和即为a[q]
printf("%d\n",ans);
}
}
return ;
}
区间修改怎么搞呢?
sum[a[1~n]]=d[1]+d[1~2]+...+d[1~n]=n*d[1]+(n-1)d[2]+...+d[n]=n*d[1~n]-(0*d[1]+1*d[2]+...+(n-1)*d[n])(在树状数组里就是另一种表示,这里只是普通数组表示)
可见两部分变量可写成=n*sum1[n]-sum2[n](又是区间求和了)
永远要记住求谁的和构建谁的树状数组,然后再树状数组求和,因为优化是树状数组求和造成的
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+;
int n,m,q,p,w,x,ans,a[N],c1[N],c2[N];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int val)//x点+val值
{
int i=x;
while(i<=n)
{
c1[i]+=val;//c1就是d数组的树状数组
c2[i]+=(x-)*val; //c2是d[i]*(i-1)的树状数组
i+=lowbit(i);//i要不断变化所以要不断求lowbit
}
}
int getsum(int x)//求a[1~x]的和
{
int res=,res1=,res2=,i=x;
while(i)
{
res1+=c1[i]*x;//求d[1~x](sum1)根据分配律可直接求得sum1*n
res2+=c2[i];//求sum2
//res+=c[i]*x-c2[i];就是单纯的求a[1~x]
i-=lowbit(i);
}
res=res1-res2;//a[1~x]
return res;
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-]);//建立
}
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x==)
{
scanf("%d %d %d",&q,&p,&w);//q,p区间+w
update(q,w);
update(p+,-w);
}
else
{
scanf("%d",&q);
ans=getsum(q)-getsum(q-);
printf("%d\n",ans);
}
}
return ;
}
线段树整合:
忘不了的线段树开四倍
区间加减,乘除,最大值:
代码还是过那个模板题的
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=5e5+;
int n,m,q,p,w,x,ans,a[N];
struct node
{
int sum,add,mul;//add,mul是lazy_tag
}t[N*];
void push_down(int p)
{
t[p].sum=t[p*].sum+t[p*+].sum;//%mod
return ;
}
void built(int p,int l,int r)
{
t[p].add=;
t[p].mul=;
if(l==r)
{
t[p].sum=a[l];
//mod;
return ;
}
int mid=(l+r)/;
built(p*,l,mid);
built(p*+,mid+,r);
push_down(p);
return ;
}
int askmin(int p,int qx,int zx,int gl,int gr)
{
if(qx>=gl&&zx<=gl)
{
return t[p].minn;
}
int mid=(qx+zx)/,ans=;
if(gl<=mid)
ans=min(ans,askmin(p*,qx,mid,gl,gr));
if(gr>mid)
ans=min(ans,askmin(p*+,mid+,zx,gl,gr));
return ans;
}
void push_tag(int p,int l,int r)
{
if(t[p].mul!=)//必须先更新乘法
{
t[p*].sum*=t[p].mul;//mod
t[p*+].sum*=t[p].mul;
t[p*].add*=t[p].mul;//mod
t[p*+].add*=t[p].mul;
t[p*].mul*=t[p].mul;//mod
t[p*+].mul*=t[p].mul;
t[p].mul=;
}
if(t[p].add)//加不会对乘的tag产生影响
{
int mid=(l+r)/;
t[p*].add+=t[p].add;//mod
t[p*+].add+=t[p].add;
t[p*].sum+=(mid-l+)*t[p].add;//mod
t[p*+].sum+=(r-mid)*t[p].add;
t[p].add=;
}
return ;
}
void add(int p,int qx,int zx,int gl,int gr,int k)//区间加减
{
if(qx>=gl&&zx<=gr)
{
t[p].sum+=(zx-qx+)*k;
t[p].add+=k;//mod
return ;
}
int mid=(qx+zx)/;
push_tag(p,qx,zx);
if(gl<=mid)
add(p*,qx,mid,gl,gr,k);
if(gr>mid)
add(p*+,mid+,zx,gl,gr,k);
push_down(p);
return ;
}
void mult(int p,int qx,int zx,int gl,int gr,int k)//区间乘
{
if(qx>=gl&&zx<=gr)
{
t[p].sum*=k;
t[p].add*=k;
t[p].mul*=k;//mod
return ;
}
int mid=(qx+zx)/;
if(gl<=mid)
mult(p*,qx,mid,gl,gr,k);
if(gr>mid)
mult(p*+,mid+,zx,gl,gr,k);
}
int ask(int p,int qx,int zx,int gl,int gr)
{
if(qx>=gl&&zx<=gr)
return t[p].sum;//mod
int ans=,mid=(qx+zx)/;
push_tag(p,qx,zx);
if(gl<=mid)
ans+=ask(p*,qx,mid,gl,gr);
if(gr>mid)
ans+=ask(p*+,mid+,zx,gl,gr);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
built(,,n);
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
if(x==)
{
scanf("%d %d %d",&q,&p,&w);//q,p区间+w
add(,,n,q,p,w);
}
if(x==)
{
scanf("%d",&q);
printf("%d\n",ask(,,n,q,q));
}
}
return ;
}
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