模拟4题解 T1礼物

T1

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题目描述

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。

商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种 礼物的喜悦值不能重复获得）。

每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。

众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。

求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期 望购买次数。

输入格式

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。

接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。

输出格式

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。

第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

样例

样例输入

3
0.1 2
0.2 5
0.3 7

样例输出

14
12.167

数据范围与提示

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1

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 [概率与期望][状压DP]

n<=20所以很显然的状态压缩，

定义f[s]为状态为s时的还要走的期望步数

则f[(1<<n)-1]为 0，f[0]为所求

倒着推

f[i]=Σf[j]*q[k]+(1-Σq[k])*f[i]+1;

i 当前状态，j 转移过来的状态，Σ为 枚举i中的某一个0由1转移过来，k为之一位

显然i可由 1，以q[k]的概率买到i，和以1-Σq[k]的概率恰好碰到到已有的或没有拿出来（此时转移由i过来）的状态组成;

对于  101010

可由 11010，10110，10101 这三种状态+（1-Σq[k]绿色的1的概率）不买k的状态，转移过来

那为什么正着推不行？

当正着推时，状态转移方程中1-Σq[k]无含义，故不成立;

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const double eps=1e-;
 double p[];
 int n;
 long long sum=;
 double f[<<];
 int cot(int x)
 {
     int ret=;
     while(x&)
     {
         x>>=;
         ret++;
     }
     return ret;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x;
         scanf("%lf%d",&p[i],&x);
         if(p[i]<eps)continue;
         sum+=x;
     }
     if(n==)
     {
         printf("%lld\n",sum);
         double ans=/p[];
         printf("%.3lf",ans);
     }
     else
     {
         int mx=<<n;
         f[mx-]=;
         for(int i=mx-;i>=;i--)
         {
             double tot=0.0,fs=0.0;
             int t;
             for(int k=i;k<mx;k+=(<<(t-)))
             {
                 t=cot(k);
                 fs+=f[i|(<<(t-))]*p[t];
                 tot+=p[t];
             }
             f[i]=(fs+1.0)/tot;
         }
         printf("%lld\n%.3lf",sum,f[]);
     }
 }