[CCPC2019 ONLINE]E huntian oy

题意

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6706

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思考

打表出奇迹。

注意到这个式子有一大堆强条件限制，最后化为：

$$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{|i-j|*[(i,j)==1]}$$

考虑莫比乌斯反演：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{|i-j|}$$

$$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{|i-j|}\sum_{d|i,d|j}{\mu(d)}$$
$$=\sum_{d=1}^{n}{\mu(d)*d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j-1}^{\frac{n}{d}}1}$$
$$=\sum_{d=1}^{n}{\mu(d)*d*F(\frac{n}{d})}$$

F是容易计算的。也就是说，我们要算出$\sum_{d=1}^{n}{\mu(d)*d}$在根号个点处的前缀和。杜教筛即可。

对于小于等于$10^6$的情况，线性筛预处理。

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代码

 #pragma GCC optimize 2
 #include<bits/stdc++.h>
 #define mod 1000000007
 #define G2 500000004
 #define G3 333333336
 #define G6 166666668
 using namespace std;
 typedef long long int ll;
 const int maxn=1E6+;
 ll T,n,m;
 ll size,prime[maxn],mu[maxn],sum[maxn];
 ll F[maxn],f[maxn];
 int TOT;
 int used[maxn];
 bool vis[maxn];
 ll sqr,what[maxn];
 inline int where(int x)
 {
     return x<=sqr?x:n/x+sqr;
 }
 int gcd(int x,int y)
 {
     if(y==)
         return x;
     return x%y==?y:gcd(y,x%y);
 }
 inline ll qpow(ll x,ll y)
 {
     ll ans=,base=x;
     while(y)
     {
         if(y&)
             ans=ans*base%mod;
         base=base*base%mod;
         y>>=;
     }
     return ans;
 }
 inline ll G(ll m)
 {
     return (m*m%mod*(m-)%mod-m*(m-)%mod*(*m-)%mod*G3%mod+mod)%mod;
 }
 void init()
 {
     mu[]=;
     f[]=;
     F[]=;
     for(int i=;i<=;++i)
     {
         if(!vis[i])
             prime[++size]=i,mu[i]=-,f[i]=i-;
         for(int j=;j<=size&&prime[j]*i<=;++j)
         {
             vis[prime[j]*i]=;
             mu[prime[j]*i]=-mu[i];
             f[prime[j]*i]=f[i]*f[prime[j]]%mod;
             if(i%prime[j]==)
             {
                 mu[prime[j]*i]=;
                 f[prime[j]*i]=f[i]*prime[j]%mod;
                 break;
             }
         }
         F[i]=(F[i-]+f[i]*(ll)i%mod)%mod;
     }
     for(int i=;i<=;++i)
         sum[i]=sum[i-]+mu[i]*(ll)i;
 }
 void small()
 {
     cout<<(F[n]-+mod)*G2%mod<<endl;
 }
 ll calc(ll n)
 {
     if(used[where(n)]==TOT)
         return what[where(n)];
     if(n<=)
         return what[where(n)]=sum[n];
     ll g=;
     for(ll l=,r;l<=n;l=r+)
     {
         r=n/(n/l);
         g=(g-(r-l+)*(r+l)%mod*G2%mod*calc(n/l)%mod+mod)%mod;
     }
     used[where(n)]=TOT;
     return what[where(n)]=g;
 }
 inline ll getsum(int x)
 {
     if(x<=)
         return sum[x];
     return what[where(x)];
 }
 void big()
 {
     ++TOT;
     sqr=sqrt(n+0.5);
     ll GG=calc(n);
     ll ans=;
     for(int l=,r;l<=n;l=r+)
     {
         r=n/(n/l);
         ans=(ans+(getsum(r)-getsum(l-)+mod)*G(n/l)%mod)%mod;
     }
     cout<<ans*G2%mod<<endl;
 }
 void solve()
 {
     ll a,b;
     cin>>n>>a>>b;
     if(n<=)
         small();
     else
         big();
 }
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(false);
     init();
     cin>>T;
     while(T--)
         solve();
     return ;
 }