Box-Cox变换
简介

式中

为经Box-Cox变换后得到的新变量,

为原始连续因变量,

为变换参数。以上变换要求原始变量

取值为正,若取值为负时,可先对所有原始数据同加一个常数

使其

为正值,然后再进行以上的变换。对不同的

所作的变换不同。在

时该变换为对数变换,

时为倒数变换,而在

时为平方根变换。Box-Cox变换中参数

的估计有两种方法:(1)最大似然估计;(2)Bayes方法。通过求解

值,就可以确定具体采用哪种变换形式。
变换过程

在这里

是一个待定变换参数。对于不同的

,所作的变换也不相同,所以Box-Cox变换是一族变换,它包括了平方根变换(

),对数变换(

)和倒数变换(

)等常用变换,对因变量的n个观测值

,应用上述变换,可得变换后的向量

我们要确定变换参数

,使得

满足

即要求通过因变量的变换,使得变换过的向量

与回归自变量具有线性相依关系,误差也服从正态分布.误差各分量是等方差且相互独立,故Box-Cox变换是通过参数

的适当选择。达到对原来数据的“综合治理”,使其满足一个正态线性回归模型的所有假设条件。

,由于

,故对固定的

,

和

的似然函数为

其中,

为变换的Jacobi行列式

当

固定时,

是不依赖于参数

和

的常数因子,

的其余部分关于

和

求导数,令其等于零,可求得

和

的极大似然估计


残差平方和为

对应的似然最大值为

该式为

的一元函数,通过求它的最大值来确定

,因为

是x的单调函数,问题可转化为求

的最大值,对式(3)求对数,略去与

无关的常数项,得


其中,



式(4)对Box-Cox变换在计算机上实现带来很大的方便,因为我们只要求出残差平方和

的最小值,就可以求出

的最大值,虽然很难找出使

达到最小值的

的解析表达式,但是对一系列的

给定值,通过最普通的求最小二乘估计的回归程序,很容易计算出对应的

,画出

关于

的曲线,可在图上近似地找出

达到最小值的

。

值,计算

,如果

,用式(6)计算,否则用式(7);

值,重复上述步骤,得到相应的残差平方和

的一串值,以

为横轴,作出相应的曲线,用直观的方法,找出使

达到最小值的点

。

。
意义
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