个案排秩 Rank (linear algebra) 秩 (线性代数)
非叫“秩”不可,有秩才有解_王治祥_新浪博客
http://blog.sina.com.cn/s/blog_8e7bc4f801012c23.html
我在一个大学当督导的时候,一次我听一位老师给学生讲《线性代数》中矩阵的“秩”。
矩阵的“秩”是《线性代数》中的一个非常重要的概念。我认为,理解了“秩”,线性代数就好学多了,用起来也主动多了。
因为这个概念的重要性,课间休息时,我问这位老师:“秩”是什么?为什么非要叫“秩”?
对前一个问题,他又重复了一遍教科书上的数学定义。对后一个问题,始呈不屑回答意,继则愕然,终了闪烁其词回避走开了。我没有追问下去,但是我有些不踏实:非数学专业学生的学习效果会怎么样。
“秩”在数学上是有严格定义的。从数学上去掌握“秩”的数学解析意义应该说不难。简单来说,“秩”就是组成矩阵的各向量之间的最大线性无关数。例如,有一个有5个向量组成的方阵,如果这5个向量中最多有3个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为3;如果这5个向量中最多有4个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为4;如果这5个向量中5个向量都互不相关,就说这个矩阵满秩。满秩,就是组成矩阵的所有向量都线性无关。当然,这里略去了行秩和列秩的区别。
我更关心的是要回答为什么非要叫“秩”。也就是说,从文字意义上,为什么叫“秩”?叫别的行不行?譬如,叫“牛”、叫“马”、叫“石头”、叫“鬼”、叫“酷”,等等,行不行?为什么一定要叫“秩”?
这个问题我又和其他几位数学教师讨论过。有的说,开始就这么叫的,习惯了,所以叫“秩”;有的说,不叫“秩”也行,无所谓。有的干脆说,不知道。尽管这些老师的数学功底很深,但是都没有给我一个使我满意的回答。
我说,不对,非要叫“秩”不可,叫别的绝对不行。叫“秩”,是有深刻含义的。准确来说,是有深刻物理意义的。
为什么呢?
我们从实用角度来理解“秩”的物理意义,就可以看出来,为什么非要叫“秩”不可。说明一点:请原谅,为了好懂,在不失数学原意的情况下,下面对严格的数学表述作了一些文字上的简化处理。
先说解决数学本身的一个实用问题。要解一个方阵 组成的线性代数方程,如果矩阵 满秩,方程才有唯一解。即:线性代数方程组有唯一解的条件是:矩阵满秩。否则,方程就无解。
再说现代控制理论中的一个实用问题。线性系统有一个矩阵,叫能控性矩阵。如果这个矩阵是满秩的,系统的状态就完全能控制;如果不满秩,系统的状态就不完全能控制。
上面两个实用例子,意思都是说矩阵要满秩,问题就有解。如果不满秩,问题就解决不了。而满秩,就是组成矩阵的所有向量都线性无关;而不满秩就是有线性相关的向量了。我们可以这么说:如果所有的向量都没有线性相关的关系,问题就有解;只要有两个向量或有一些向量有线性相关的关系,问题就解决不了。
这使我们联想到了很多社会问题的解决。有些看似很复杂的社会问题,很容易解决;有些看似很简单的社会问题,却始终解决不了。这跟“秩”有关。
举个简单的例子,排队抢购一件紧俏商品。如果排队的人彼此完全不认识,就都会老老实实地排队。哪怕队伍排得很长,也会非常有秩序。过不一会,东西就可以买到手。相反,如果排队的时候,突然走来一个关系紧密的熟人,他又不自觉,队伍又很长,东西又紧俏,非要插队。后面的人就开始嚷嚷了,秩序就乱了,搞得不对,哪怕队伍再短,也会天下大乱,谁也买不成。
这个例子说明:彼此不认识,彼此不相关,就有秩序,问题就好解决;彼此认识,彼此相关,就很难有秩序或者说没有秩序,问题就不好解决。
于是数学家就把日常生活中的这种现象和规律,总结到矩阵中的所有向量之间的关系中来,并加以抽象,于是就提出了矩阵秩的概念。说明,如果矩阵中的所有向量都是线性无关的,那么,矩阵就完全有秩序,方程就有唯一的解,系统状态就完全能控;如果矩阵中的所有向量有线性相关的,那么,矩阵就没有秩序,方程就不会有解,系统状态就不可能完全能控。
一句话,完全不相关,就有秩序;不是完全不相关,就不会有秩序。所以,矩阵中的最大的不相关的向量的个数,就叫秩,而且非叫秩不可,不能叫别的。
我又联想到其它一些问题。例如,我们国家很多地方很多部门,有很多三姑六姨的人际关系网,有些地方甚至可以用盘根错节近亲繁殖来形容。显然,这些地方这些部门,用线性代数的话来说,就不满秩,而且非常不满秩;用社会生活语言来说,就是没有秩序。这些地方和这些部门的工作,完全可以想象,是搞不好的,因为没有秩序。要搞好一个地方一个部门的工作吗,要很轻松地搞好一个地方一个部门的工作吗?用数学语言说,你首先要满秩。
所以我的结论是:线性代数中表示向量间是否线性相关的这个概念,一定要叫秩,不能叫别的。
如果这么来认识矩阵秩的概念,高深的线性代数,是不是好学一些了?学了以后是不是更好用一些了?
好学好用的根本原因,是知道了秩这个概念的数学意义以后,更清楚地理解了秩的物理意义,更明白了“秩”的文字意义。我把这种对于一个理论问题,既准确讲述数学意义,又直观讲解物理意义,还直白说明日常生活意义和文字意义的理论教学方法,叫平民化教学法。而只讲述数学意义,不讲解物理意义,不说明日常生活意义和文字意义的理论教学方法,叫学院式教学法。平民化的理论教学法,更有利于学,更有利于用。学生学起来,更有兴趣一些,更容易学一些,收获更大一些,老师也更好教一些。
平民化教学方法显然具有直观形象的特点,又不失理论的严密性和严肃性。对非数学专业的学生讲数学的时候,平民化教学法可能更有效。特别是对目前我们国家大部分非数学专业类的大学生来说,可能是更合适的。在目前的大学生状态下,我建议:尽量采用平民化教学法,尽量放弃学院式教学法。学院式的理论教学应当尽量平民化。
当然,对于数学逻辑思维能力特别强的学生来说,可能就多此一举了。
像“秩”这样好像既深奥又难懂的概念和知识,还有很多。都需要老师下功夫去思考去研究去回答,让非数学专业的学生,能够多听到一些“平民化”的数学,而不是“学院式”的数学。例如,为什么要叫矩阵的“迹”?为什么要叫矩阵的“范数”?为什么要叫“友矩阵”?为什么要叫“酉矩阵”?为什么要叫复变函数的“留数”?可以说,在数学中要这么讲的例子俯拾即是。在其它课程中也有很多,例如,热工学中的“熵”和“焓”,也有一个为什么非要叫“熵”和“焓”的问题。也要讲清楚它的物理意义文字意义,也要平民化,不要学院化。
2012年4月10日星期二 14:43 于宿迁
矩阵的秩可 线性映射线空间的维数
w
https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/zh/SSLVMB_23.0.0/spss/base/idh_rank_types.html
个案排秩: 类型
版本 23.0.0
SPSS Statistics Subscription
版本 24.0.0
版本 23.0.0
您可以选择多种排秩方法。将为每种方法创建单独的排秩变量。排秩方法包含单秩、Savage 得分、分数秩和百分位数。您也可以基于比例估计和正态得分创建排秩。
秩。简单等级。新变量的值等于它的等级。
Savage 得分。新变量包含基于指数分布的 Savage 得分。
分数秩。新变量的值等于等级除以非缺失个案的权重总和。
分数秩百分比。每个等级除以带有有效值的个案数,再乘以 100。
个案权重总和。新变量的值等于个案权重的合计。对于同一组中的所有个案,该新变量是一个常数。
Ntile。基于百分位组的等级,每一组包含的个案数大致相同。例如,4 个 Ntile 会将等级 1 指定给第 25 个百分位以下的个案,将等级 2 指定给第 25 个与第 50 个百分位之间的个案,将等级 3 指定给第 50 个与第 75 个百分位之间的个案,将等级 4 指定给第 75 个百分位以上的个案。
比例估计。估计与特定等级对应的分布的累积比例。
正态得分。对应于估计的累积比例的 z 得分。
比例估计公式。 对于比例估计和正态得分,您可以选择比例估计公式:Blom、Tukey、Rankit 或 Van der Waerden。
- Blom。基于使用公式 (r-3/8) / (w+1/4) 的比例估计创建新的等级变量,其中 w 是个案权重的总和,r 是等级。
- Tukey。使用公式 (r-1/3) / (w+1/3),其中 r 为等级,w 为个案权重的总和。
- Rankit。使用公式 (r-1/2) / w,其中 w 是观察次数,r 是等级,范围是从 1 到 w。
- Van der Waerden。Van der Waerden 转换,由公式 r/(w+1) 定义,其中 w 是个案权重的合计,r 是等级,范围从 1 到 w。
选择排秩方法
- 从菜单中选择:
转换 > 个案排秩...
- 选择一个或多个要排秩的变量。您可以只对数值变量排秩。
- 单击秩类型。
- 选择一种或多种排秩方法。将为每种排秩方法创建单独的变量。
要基于比例估计或正态得分创建秩:
- 选择比例估计和/或正态得分。
- 选择一种排秩方法。
In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns.[1] This is the same as the dimension of the space spanned by its rows.[2] It is a measure of the "nondegenerateness" of the system of linear equations and linear transformation encoded by A. There are multiple equivalent definitions of rank. A matrix's rank is one of its most fundamental characteristics.
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra)
https://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(线性代数)
http://baike.baidu.com/item/秩
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