JZOJ.3777【NOI2015模拟8.17】最短路(shortest)
Description
小A研究的图可以这么看:在一个二维平面上有任意点(x,y)(0<=x<=N,0<=y<=M,且x,y均为整数),且(x,y)向(x-1,y)(必须满足1<=x)和(x,y-1)(必须满足1<=y)连一条边权为0的双向边。
每个点都有一个非负点权,不妨设(x,y)的权值为F[x][y],则有:
1.x=0或y=0:F[x][y]=1;2.其他情况:F[x][y]=F[x-1][y]+F[x][y-1]。
现在,小Y想知道(0,0)到(N,M)的最短路,即使得经过的点的权值之和最小。为了炫耀自己学过最短路算法,他决定和你进行一场比赛,看谁的程序跑得快。然则小Y没有学过高精度算法,所以他希望输出答案时只输出答案模1000000007后的值。
Input
Output
Sample Input
1 2
Sample Output
6
Data Constraint
Hint
30%的数据满足N,M<=100;
60%的数据满足min(N,M)<=100;
100%的数据满足N*M<=10^12。
容易发现这其实是杨辉三角的一部分,最短路其实是确定的,沿这个矩形外围的一圈走,且一开始往较长的那一边走。
那么答案就是$m+1+\sum _{i=1}^{n}C_{m+i}^{i}$
我们容易发现$C_{m+i}^{i}\times \dfrac {m+i+1} {i+1}=C_{m+i+1}^{i+1}$
也就是上一个C值可以直接推到下一个C值,mod的是一个大质数,逆元一下就可以了。 (费马小定理)
$\dfrac {a} {b}=a\ast b^{p-2}\left( modP\right)$
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define qaq 1000000007
using namespace std;
long long n,m,ans,qwq;
long long kuai(long long x,long long y){
long long a=qaq-;
long long b=;
long long c=y;
while (a){
if (a&) b=(c*b)%qaq;
c=(c*c)%qaq;
a>>=;
}
b=(b*x)%qaq;
return b;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&m,&n);
if (n<m) swap(n,m);
ans=n+;
qwq=n+;
for (long long i=;i<=m;i++){
ans=(ans+qwq)%qaq;
qwq=(qwq*(kuai(n+i+,i+)))%qaq;
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
神奇的代码
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