AtCoder Grand Contest 010 D - Decrementing

题目描述

有n个整数，其中第i个数为Ai。这些数字的gcd为1。两人轮流操作，每次操作把一个大于1的数减1，并把所有数除以所有数的最大公约数，最后无法操作者输，求是否先手必胜。

如果当前的sum为偶数，那么减一之后sum变为奇数，gcd必为奇数，而任意数除一个奇数后奇偶性不变，故这步走完后sum必然为奇数。

如果当前的sum为奇数，减一之后sum变为偶数，如果当前全为偶数，那么除完gcd后奇偶不一定，否则sum依然为偶数。

当局面全为1的时候先手必败，此时的奇偶为$n%2$，考虑先手怎样控制局面取得胜利。

假设先手的局面$sum\%2!=n\%2$,那么先手一定必胜，后手改变局面的唯一机会是使减完后gcd为2的倍数，则n个数都%2后必须只有一个1，先手只要每回把一个0变成1后手就无法翻盘。

那如果$sum\%2=n\%2$，如果满足n个数%2后只有一个1且先手必须要把1变0先手才可能赢，否则必败。

模拟一下过程，gcd为2的倍数的次数最多log次。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 int n;
 int a[];
 ll sum=;
 void print(int x)
 {
     if(!x)puts("First");
     else puts("Second");
 }
 int gcd(int x,int y)
 {
     if(!y)return x;
     return gcd(y,x%y);
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];
     }
     int now=;
     while()
     {
         if(n%!=sum%)return print(now),;
         int id=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(a[i]%==&&a[i]!=)
             {
                 if(!id)id=i;
                 else return print(now^),;
             }
         }
         if(!id)return print(now^),;
         a[id]--;
         int g=a[];for(int i=;i<=n;i++)g=gcd(g,a[i]);
         sum=;
         for(int i=;i<=n;i++)a[i]/=g,sum+=a[i];
         now^=;
     }
     return ;
 }