[EZOJ1007] 神奇的三角形

Description

求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{i}C(i,j)\times (j+1)^m\operatorname{mod}998244353\)

\(n\leq10^9,m\leq 100000\)

Solution

傻逼推式子题...

首先 \(\sum\limits_{i=0}^nC(i,j)=C(n+1,j+1)\)，所以原式可化为

\[\sum_{i=1}^nC(n,i)\times i^m
\]

斯特林展开 \(n^k=\sum\limits_{i=0}^nS(k,i)\times i!\times C(n,i)\)

\[\sum_{i=1}^nC(n,i)\times \sum_{k=0}^mC(i,k)\times k!\times S(m,k)
\]

因为 \(S(i,j)=0(i<j)\)，所以将 \(k\) 的枚举提前

\[\sum_{k=0}^mS(m,k)\times k!\times \sum_{i=1}^nC(n,i)\times C(i,k)
\]

观察 \(\sum\limits_{i=1}^nC(n,i)\times C(i,k)\) 的组合意义，即先从 \(n\) 个球中选 \(i\) 个，再从 \(i\) 个球中选 \(k\) 个。这和从 \(n\) 个球中先取 \(k\) 个，剩下的球随意拿是等价的。所以 \(\sum\limits_{i=1}^nC(n,i)\times C(i,k)=C(n,k)\times 2^{n-k}\)

\[\sum_{k=0}^mS(m,k)\times k!\times C(n,k)\times 2^{n-k}
\]

将组合数拆开

\[\sum_{k=0}^mS(m,k)\times \frac{n!\times 2^{n-k}}{(n-k)!}
\]

这是个卷积的形式，那么就先 \(NTT\) 一遍求出第二类斯特林数，再 \(NTT\) 求答案就行了。

因为 \(n\) 很大但是 \(k\) 很小，所以 \(\frac{n!}{(n-k)!}\) 是可以算的，数组下标再平移一下就好了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
#define inv(x) ksm(x,mod-2)
const int N=4e5+5;
const int mod=998244353;
int fac[N],ifac[N];
int rev[N],a[N],b[N];
int n,m,lim,c[N],d[N];
int ksm(int a,int b,int ans=1){
    while(b){
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
    } return ans;
}
int getint(){
    int X=0,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
    if(w) return -X;return X;
}
void ntt(int *f,int opt){
    for(int i=0;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
        int tmp=ksm(3,(mod-1)/(mid<<1));
        if(opt<0) tmp=inv(tmp);
        for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
            int w=1;
            for(int k=0;k<mid;k++,w=1ll*w*tmp%mod){
                int x=f[j+k],y=1ll*w*f[j+k+mid]%mod;
                f[j+k]=(x+y)%mod,f[j+k+mid]=(mod+x-y)%mod;
            }
        }
    } if(opt<0){
        for(int in=inv(lim),i=0;i<lim;i++)
            f[i]=1ll*f[i]*in%mod;
    }
}
void mul(int *a,int *b){
    ntt(a,1),ntt(b,1);
    for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,-1);
}
signed main(){
    n=getint(),m=getint();
    fac[0]=ifac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    ifac[m]=inv(fac[m]);
    for(int i=m-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    if(n<m){
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        	ans=(ans+1ll*fac[n]%mod*ifac[i]%mod*ifac[n-i]%mod*ksm(i,m)%mod)%mod;
        printf("%d\n",ans);return 0;
    }
    lim=1;while(lim<=m+m) lim<<=1;
    for(int i=1;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?lim>>1:0);
    for(int i=0;i<=m;i++){
        a[i]=1ll*(i&1?mod-1:1)*ifac[i]%mod;
        b[i]=1ll*ksm(i,m)*ifac[i]%mod;
    } mul(a,b);int now=1;
    for(int i=n;i>=n-m;i--){
        c[i-n+m]=1ll*ksm(2,i)*now%mod;
        now=1ll*now*i%mod;
    } mul(a,c);
    printf("%d\n",a[m]);
    return 0;
}