BZOJ1791[Ioi2008]Island 岛屿 ——基环森林直径和+单调队列优化DP+树形DP

题目描述

你将要游览一个有N个岛屿的公园。从每一个岛i出发，只建造一座桥。桥的长度以Li表示。公园内总共有N座桥。尽管每座桥由一个岛连到另一个岛，但每座桥均可以双向行走。同时，每一对这样的岛屿，都有一艘专用的往来两岛之间的渡船。相对于乘船而言，你更喜欢步行。你希望所经过的桥的总长度尽可能的长，但受到以下的限制。 • 可以自行挑选一个岛开始游览。 • 任何一个岛都不能游览一次以上。 • 无论任何时间你都可以由你现在所在的岛S去另一个你从未到过的岛D。由S到D可以有以下方法： o 步行：仅当两个岛之间有一座桥时才有可能。对于这种情况，桥的长度会累加到你步行的总距离；或者 o 渡船：你可以选择这种方法，仅当没有任何桥和/或以前使用过的渡船的组合可以由S走到D（当检查是否可到达时，你应该考虑所有的路径，包括经过你曾游览过的那些岛）。注意，你不必游览所有的岛，也可能无法走完所有的桥。任务编写一个程序，给定N座桥以及它们的长度，按照上述的规则，计算你可以走过的桥的最大长度。限制 2 <= N <= 1,000,000 公园内的岛屿数目。 1<= Li <= 100,000,000 桥i的长度。

输入

• 第一行包含N个整数，即公园内岛屿的数目。岛屿由1到N编号。 • 随后的N行每一行用来表示一个岛。第i 行由两个以单空格分隔的整数，表示由岛i筑的桥。第一个整数表示桥另一端的岛，第二个整数表示该桥的长度Li。你可以假设对於每座桥，其端点总是位于不同的岛上。

输出

你的程序必须向标准输出写出包含一个整数的单一行，即可能的最大步行距离。注1：对某些测试，答案可能无法放进32-bit整数，你要取得这道题的满分，可能需要用Pascal的int64或C/C++的long long类型。注2：在比赛环境运行Pascal程序，由标准输入读入64-bit数据比32-bit数据要慢得多，即使被读取的数据可以32-bit表示。我们建议把输入数据读入到32-bit数据类型。评分 N不会超过4,000。

样例输入

7
3 8
7 2
4 2
1 4
1 9
3 4
2 3

样例输出

提示

　　题意就是求基环森林中的每棵基环树的直径之和，重点是求基环树直径。基环树可以看做是一个环，环上的一些点向外连了一棵树(我们可以称这些基环树里的小树为外向树)。

　　而基环树的直径有两种可能：1、直径的两端都在同一棵外向树中，即基环树的直径就是这棵外向树的直径。2、直径的两端分别在两棵外向树中，直径绕过环的一部分(也有可能端点在环上，可以看做这个端点在只有一个点的外向树的根节点处)。

　　对于第一种情况直接每棵外向树求直径就好了，但有几点要注意：

1、求直径方法应该用从根节点找到最远点再从最远点找到它的最远点，而不是维护每个点向下的最长链和与最长链不重合的次长链——因为第二种方法递归时判断的东西太多会爆栈。

2、第一次dfs不要把遍历的点标记为已访问过(即used[x]=-1)，要在第二次dfs再标记。在第一次dfs之前要把环上那个点标记置0，否则第二次dfs时遍历不到那个点。

　　对于第二种情况将环从一个基准点拆开后倍长，计算出每个点到基准点的距离，再把每个点向外向树延伸的最深距离作为这个点的点权。在这个倍长的序列上DP，因为数据范围较大，所以要用单调队列优化DP。假设序列上的点分别是A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2，A到B在环上的顺时针距离就是B1-A1，逆时针距离就是A2-B1。当以D1作为直径的右端点时，A1——D1的直径长是A1的点权+D1的点权+A1B1+B1C1+C1D1，而B1——D1的直径长是B1的点权+D1的点权+B1C1+C1D1。我们发现只要B1的点权>A1的点权+A1B1，选B1作为左端点就比A1更优。只要枚举右端点，用单调队列扫一遍就OK了。

最后附上代码。

#include<set>

#include<map>

#include<queue>

#include<cmath>

#include<stack>

#include<vector>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

typedef long long ll;

using namespace std;

int n;

int cnt;

int tot;

int x;

ll y;

ll ans;

ll f[1000010];

int g[1000010];

int head[1000010];

int to[2000010];

int next[2000010];

int val[2000010];

int used[1000010];

int vis[1000010];

int q[2000010];

int a[1000010];

int pre[1000010];

int suf[1000010];

ll num[2000010];

int cost[1000010];

ll s[2000010];

ll mx;

ll answer;

ll S;

void add(int x,int y,int z)

{

    tot++;

    next[tot]=head[x];

    head[x]=tot;

    to[tot]=y;

    val[tot]=z;

}

void find(int x)

{

    vis[x]=1;

    for(int i;;x=i)

    {

        i=suf[x];

        if(vis[i])

        {

            a[0]=i;

            s[1]=cost[x];

            used[i]=-1;

            for(int j=x;j!=i;j=pre[j])

            {

                a[++cnt]=j;

                s[cnt+1]=s[cnt]+cost[pre[j]];

                used[j]=-1;

            }

            cnt++;

            return ;

        }

        pre[i]=x;

        vis[i]=1;

    }

}

void tree_dp(int x,int fa)

{

    g[x]=x;

    f[x]=0;

    for(int i=head[x];i;i=next[i])

    {

        if(to[i]!=fa&&used[to[i]]!=-1)

        {

            tree_dp(to[i],x);

            if(f[to[i]]+val[i]>f[x])

            {

                f[x]=f[to[i]]+val[i];

                g[x]=g[to[i]];

            }

        }

    }

}

void tree_dp2(int x,int fa)

{

    g[x]=x;

    f[x]=0;

    used[x]=-1;

    for(int i=head[x];i;i=next[i])

    {

        if(to[i]!=fa&&used[to[i]]!=-1)

        {

            tree_dp2(to[i],x);

            if(f[to[i]]+val[i]>f[x])

            {

                f[x]=f[to[i]]+val[i];

                g[x]=g[to[i]];

            }

        }

    }

}

ll dis(int x,int y)

{

    return s[y-1]-s[x-1];

}

ll queue_dp()

{

    ll res=0;

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    {

        num[i+cnt]=num[i];

    }

    for(int i=cnt+1;i<=2*cnt;i++)

    {

        s[i]=s[i-cnt]+S;

    }

    int l=1;

    int r=0;

    for(int i=1;i<=2*cnt;i++)

    {

        while(l<=r&&i-q[l]>=cnt)

        {

            l++;

        }

        if(l<=r)

        {

            res=max(res,num[i]+num[q[l]]+dis(q[l],i));

        }

        while(l<=r&&num[i]>=num[q[r]]+dis(q[r],i))

        {

            r--;

        }

        q[++r]=i;

    }

    return res;

}

int main()

{

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        scanf("%d%d",&x,&y);

        add(i,x,y);

        add(x,i,y);

        suf[i]=x;

        cost[i]=y;

    }

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        if(used[i]==0)

        {

            cnt=0;

            find(i);

            mx=0;

            S=s[cnt];

            for(int j=0;j<cnt;j++)

            {

                used[a[j]]=0;

                tree_dp(a[j],0);

                answer=g[a[j]];

                num[j+1]=f[a[j]];

                tree_dp2(answer,0);

                mx=max(mx,f[answer]);

            }

            mx=max(queue_dp(),mx);

            ans+=mx;

        }

    }

    printf("%lld",ans);

}