leetcode－Maximum Subarray

https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

　　这道题的题意是要我们找到一个子串，这个子串的和是所有子串里面最大的。返回子串的和。

　　我当时最大的失误就是把题意看成为了返回当前子串的头下标。。（题目说找到子串，find xx array 但却又返回的是一个数字，确实让我的智商捏了一把汗。。）看题目太粗心，以后这个细节一定要注意。

解题思路：

　　首先，我们发现这道题目的标签是为动态规划，那么动态规划的简单思想就是把一道问题分成小的阶段，我们只要求出当前阶段最优的结果，一步一步就可以解得正确地答案。

　　所以当前我们需要找到和为最大的子串，怎样才能把它分成几段呢？是分成以不同下标开头的子串分别计算呢还是怎么样？如何想明白这里，确实需要一定的数学素养，像我就没有想出来。。既然我现在已经知道解题思路了，我还是争取以最自然的方法把解题的思路慢慢道来，不让读者觉得很突兀。

　　既然题目已经标明这个问题是可以动态规划的方法来进行解决了，而我们一时却又想不出个解题的方法，想必我们可以好好的去看看动态规划的具体定义，看从中能不能得到什么启发，下面这一段摘自百度百科动态规划的定义：

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

　　这一句道出动态规划的基本思想，不过貌似对现在没找到解题方案的我们并没有什么帮助。继续往下看：

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

　　这里我们发现他提到了对于静态规划，时间因素往往可能是不存在的，需要我们人为的引入，那么就我们当前的这个题目来讲是不是有点类似呢？

　　当前我们可以把我们自己的题目写成这样一种形式：MaxSubarray(list)，乍一看这哪里有什么时间因素呢？哪来的阶段呢？人为添加时间因素怎么加？我们可不可以先这样试试：MaxSubarray(list, time)，看起是有点怪怪的，不过改一下会不会看得习惯一些？MaxSubarray(list , i)，诶。这里面的i是不是给了我们无限的遐想？i可以是什么呢？

　　如果我们现在将函数假设成了上述的样子，我们就可以让time从小变到大，最终能解得我们所需要的答案。什么东西可以从小变到大呢，如果我想成每个不同下标所打头的子序列可不可以，这样好像变成了一种迭代方法，而不是动态规划，而且他们相互之间似乎并没有状态的联系。不知道到这里大家有没有想到，如果time是指我们给定列表的长度会怎样，我们先求出短列表中和和最大子序列，然后再给列表添加一个元素，然后再求它当前的和最大子序列。

　　如果当前列表的最大子序列已经找到，那么我们添加一个元素后其最大子列表应该有三种情况，一种是维持原状，仍然是之前的最大子序列；一种是添加的元素够大，一枝独秀，直接就是长度为1的她自己；最后一种情况可能大家不太好想，就是包含之前最大子序列还有之后的元素直到新添加元素为止，这样一个子序列。

　　针对第三种情况简单描述一下： [当前最大子序列]，[最大子序列后面的元素]，[新加入的元素]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　+　　　　　　　　　　-　　　　　　　　　　+

　　我们可以知道，【最大子序列后面的元素】+【当前最大子序列】<【当前最大子序列】，也就是说【最大子序列后面的元素】<0；如果新加入的元素为正的话，那么【最大子序列后面的元素】 = 【最大子序列后面的元素】+【新加入的元素】这个结果不一定小于零，也就是说，新加入元素后的最大子序列将变为【当前最大子序列】+【最大子序列后面的元素】+【新加入的元素】。

　　好了这样一来，我们就可以上代码了！python祭上：

class Solution:
    # @param {integer[]} nums
    # @return {integer}
    def maxSubArray(self, nums):
        sofar = nums[0]
        newend = nums[0]
        for i in range(1,len(nums)):
            newend = max(nums[i], newend+nums[i])
            sofar = max(sofar, newend)
        return sofar

　　 最后贴上百度百科动态规划的另一段话：

动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。

　　共勉