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弹簧质点模型的求解方法包括显式欧拉积分和隐式欧拉积分等方法,其中显式欧拉积分求解快速,但积分步长小,两个可视帧之间需要多次积分,而隐式欧拉积分则需要求解线性方程组,但其稳定性好,能够取较大的积分步长。[Liu et al. 2007]文章提出了一种弹簧质点模型的求解方法,它将隐式欧拉积分方法转变为求解最优化问题,并采用迭代分步优化的方法来达到最优解。相比隐式欧拉积分,该方法计算快速,并且精度在可接受范围内。

  弹簧质点模型的隐式表达方式如下:

(1)

(2)

其中:qnvn分别代表tn时刻质点的位置和速度,f(qn)为tn时刻质点所受到的力,M为质点的质量,h为步长。

  利用式(1)我们可以得到:

(3)

(4)

  将式(3)减式(4)并与式(2)结合得到:

(5)

  记x = qn+1y = 2qnqn-1,式(5)可以变化为:

(6)

  式(6)的解其实对应于如下函数的临界点:

(7)

  于是弹簧质点模型问题可以变化为最优化问题minx g(x),即最小化函数g(x)。

  函数E(x)中最重要的部分是弹簧势能,根据Hooke定律,可以推导得到两个质点间弹簧的势能为:

(8)

其中:k为弹簧的弹性系数,r为弹簧的自然长度。

  因此弹簧质点模型中弹簧的整体势能也可以变化为最优化问题,即最小化如下函数:

(9)

其中:L = A·K·ATJ = A·K,式中A∈Rm×s(m为质点数量,s为弹簧数量),并且Ai1,i=1,Ai2,i= -1,K∈Rm×m为对角矩阵,Ki,i = ki

  如果考虑其他外力(如重力等),那么函数E(x)的表达式为:

(10)

其中:是所有弹簧为自然长度时的方向。

  将函数E(x)的表达式(10)代入式(7),整理后得到最终的优化表达式:

(11)

  对于上述优化问题,可以分两步进行,将前一时刻的质点位置作为初始值x,首先固定x优化d,然后固定d优化x,然后重复上述迭代步骤直到满足设定的迭代步数。

function [X, V] = spring_mass_fast(X0, V0, E, b, bc, R, h)
% This code implements algorithm of the following paper:
% "Fast Simulation of Mass-Spring Systems" m = size(X0,1); % vertex number
s = size(E,1); % spring number if ~exist('R', 'var')
R = normrow(X0(E(:,1),:) - X0(E(:,2),:));
end damping = 0.02;
drag = 1 - damping;
stiffness = 1e1;
K = stiffness*ones(s,1);
mass = 0.01;
M = diag(mass*ones(m,1));
g = [0 0 -9.8];
fext = repmat(mass*g, [m,1]); A = sparse(E,[1:s;1:s]',repmat([1,-1],s,1),m,s); L = A*diag(K)*A';
J = A*diag(K); X = X0;
iter = 0;
max_iter = 10;
while true
% step1: Fix X and find D
D = X(E(:,1),:) - X(E(:,2),:);
D = bsxfun(@times, D, R./normrow(D)); % step2: Fix D and find X
X = solve_equation(M + h^2*L, h^2*(fext + J*D) + M*(X0 + V0*h), b, bc); iter = iter + 1;
if iter == max_iter
break;
end
end
V = drag*(X - X0)/h;
end

相关:

弹簧质点系统(Euler Integration):http://www.cnblogs.com/shushen/p/5473264.html

弹簧质点系统(Verlet Integration):http://www.cnblogs.com/shushen/p/5394431.html

参考文献:

[1] Tiantian Liu, Adam W. Bargteil, James F. O'Brien, and Ladislav Kavan. 2013. Fast simulation of mass-spring systems. ACM Trans. Graph. 32, 6, Article 214 (November 2013), 7 pages.

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