KL散度相关理解以及视频推荐

以下内容基于对[中字]信息熵，交叉熵，KL散度介绍||机器学习的信息论基础这个视频的理解，请务必先看几遍这个视频。

假设一个事件可能有多种结果，每一种结果都有其发生的概率，概率总和为1，也即一个数据分布。我们可以用哈夫曼编码作为最佳编码方案编码这些事件，并将多次事件发生的情况信息以哈夫曼编码的形式传递出去。

有一个结论是：在一个数据分布p上，用p对应的最佳编码方案来传递信息，这样传递的信息的期望量。这个期望量也被称为这个数据分布p作为一个信息的信息熵，是一个信息的一种属性。

信息熵就是，在一个数据分布p上，用p对应的最佳编码方案来传递信息，这样传递的信息的期望量。

交叉熵就是，在真实的数据分布p上，用你预测的分布q对应的最佳编码方案来传递信息，这样传递的信息的期望量。如果p和q完全一致，那么q的最佳编码方案就是p的最佳编码方案，传递的信息总量就是最少的，也就是说，交叉熵的值最小。

KL散度就是，【在一个数据分布p上，用分布q对应的最佳编码方案来传递信息，这样传递的信息的期望量】，与【在数据分布p上用分布p对应的最佳编码方案来传递信息，这样传递的信息的期望量】（也即p的信息熵），的差值。它衡量了两个分布的差别，KL散度越大说明两个分布差别越大，KL散度的最小值为0，表示两个分布完全相同。

在深度学习分类任务训练过程中，真实的数据分布就是p(y|x)，其中x是样本特征，y是label向量（one-hot形式），用[0,0,0,1,0,0,0,0]这种形式表示，你可以把它看成一个分布，分别表示x是8种东西中的某一种的概率，由于y是label所以有一个是1，其他的全是0。预测的分布就是p(ŷ|x)，其中x还是刚才的那个样本特征，ŷ可以是[0.1,0.2,0.05,0.6,0.01,0.01,0.01,0.02]这种形式，表示我们预测出的x可能是8中东西中的某一种的概率的分布。我们在写代码的时候，通常是使用y和ŷ的交叉熵来作为我们的loss。而实际上，我们也使用的是KL散度作为loss，效果和用交叉熵完全一样。这是因为p(y|x)对应的事件的信息熵的值永远为0. 因为p(y|x)的分布是[0,0,0,1,0,0,0,0]这样的，也就是说表示，x一定属于第四类，也就是说哈夫曼编码根本用不上，不需要编码，肯定是第四个，也就是p(y|x)对应的事件的信息熵的值永远为0。所以此时KL散度就等于交叉熵了。

那么如果是在变分推断VI或者变分自动编码器VAE中呢？在这两个场景下，我们通常要计算p(z|x)这个分布，也就是说给定x，把它编码成什么样的z是最好的。其中z是隐变量，不像前面的y一样是ground truth，不像y一样信息量为零。我们在这两种场景下实际上是将x编码为z，z有它自己的复杂的分布。由于我们要把x编码成z，通常是把一个高维的x编码成低维的z，因此我们需要z本身的分布能表示越多的信息越好，也就是z的分布本身的信息熵越大越好。因此此时我们使用的loss函数就是KL散度，假设我们的样本通过编码器后拿到的隐变量是ẑ，它的分布是p，隐空间中关于对于我们的样本最好的隐变量是z，它的分布是q，那我们就有了两个优化目标了，一个就是找到一个信息量最大的分布q，用来承载样本们将要传递过来的信息，另一个就是让编码器编码的分布p尽量接近q，也就是让原来高维的信息x，尽量的充分利用这个低维空间能承载的信息量。在VAE中，我们实际上把这个q固定为标准高斯分布了，因为在有前提(指x)的情况下，把z的分布建模成指数族分布的信息熵是最高的，也就是能承载更多的信息。在VAE的一般情况下，q是无限个高斯分布的混合，因此我们很难找到一个有公式的p(z|x)来逼近这个q，因此我们使用一个神经网络来作为p(z|x)这个分布，让它去接近q。