从 0 开始的min_max容斥证明
二项式反演
\]
证明:
容斥原理
\]
证明:显然
如果一个元素 \(p\) 被 \(m\) 个集合包含,那么 \(p\) 对于左侧的贡献是 \(1\)
对于右侧的贡献:
1-\sum\limits_{i=0}^m(-1)^{i}C^i_m\\\large=1-(1-1)^m=1
\]
二项式定理
\]
这个柿子可以理解为 ,\(n\) 个括号,每个括号选择 \(x\) 或 \(y\) ,其中 \(i\) 个选了 \(x\) ,那么其余 \(n-i\) 个必然是\(y\) ,所以 \(x^i y^{n-i}\) 的系数是 \(n\) 个括号选择 \(i\) 个的方案数,即 \(C^i_n\)
容斥原理的最后一步就是这么证明的。
接着证明二项式反演
设集合 \(A_i\) 的补集是 \(B_i\) ,全集是 \(U\), \(C_A\) 表示 \(A\) 的补集
那么\(A_1 \cup A_2\cup\cdots\cup A_n\) 的补集就是 \(B_1 \cap B_2\cap\cdots\cap B_n\) ,结合容斥原理可得
\]
\therefore |A_1 \cap A_2\cap\cdots\cap A_n|=|U|-\sum\limits_{1\le i\le n}|B_i|-\sum\limits_{1\le i<j\le n}|B_i\cap B_j|+\cdots+(-1)^{n-1}\times |B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_n|
\]
考虑一种特殊情况:集合的交集大小只与集合个数有关。给出一种可行的情况: \(U=\{1,2,\cdots,2n\},A_i=\{1,2,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n,i+n\}\)
于是珂以令 \(f(i)\) 为 \(i\) 个集合补集的交集大小, \(g(i)\) 为 \(i\) 个原集的大小。
得到:
\]
令 \(h(i)=(-1)^ig(i)\) ,那么
即f_n=\sum\limits_{i=0}^nC^i_nh_i \Leftrightarrow h_n=\sum\limits_{i=0}^n{(-1)}^{n-i}C_{n}^{i}f_i
\]
Min_Max 容斥
给定集合 \(S\) ,设 \(max(S),min(S)\) 分别为 \(S\) 中的最大、最小值,那么
\]
证明:
考虑构造一个系数 \(f(i)\) 使得 \(max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(|T|)min(T)\)
不妨 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\)
考虑通过枚举哪些集合的最小值是 \(x+1\) 计算这个第 \(x+1\) 大的数的贡献,这个那么贡献就是 \(\sum\limits_{i=0}^xC^i_xf(i+1)\)
而我们希望这个柿子只有在 \(x=0\) 的时候恰好是 \(1\) ,其余时候都是 \(0\) ,这样等式右边一加恰好是 \(S\) 的最大数,等于等式左边,则
\]
套用之前的二项式反演公式,设 \(A(x)=[x==0],B(x)=f(i+1)\)
由于 \(A(x)=\sum\limits_{i=0}^nC^i_nB(i)\)
可以得到 \(B(x)=\sum\limits_{i=0}^x(-1)^{x-i}A(i)\)
即 \(f(x+1)=\sum\limits_{i=0}^x(-1)^{x-i}[i==0]=(-1)^x\)
所以 \(f(x)=(-1)^{x+1}\)
\(max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}min(T)\)
证毕!
参考资料
http://blog.miskcoo.com/2015/12/inversion-magic-binomial-inversion
https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/11407185.html
https://blog.csdn.net/dt_kang/article/details/88805837
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